Jobineries

Ce n’est pas l’AQUOPS qui se meurt, c’est l’idée même des TIC dans les écoles.
Louis Desjardins, dans un commentaire de ce billet sur le blogue de l'AQUOPS.

Je fais à peu près le même constat que M. Desjardins. La situation est évidemment complexe, mais je suis persuadé qu'une cause importante d'une désaffection des enseignants est le paternalisme éhonté que les services informatiques exercent depuis des années sur les enseignants.

On a voulu garder les enseignants dans des espaces fermés, alors que les utilisateurs des TIC ne peuvent s'épanouir que dans l'ouverture au monde. Un exemple : on ferme les systèmes avec des Deep Freeze installés partout et sans discernement (même dans les salles de classes, même dans les salles de profs... même les postes des secrétaires ont DF... C'est faire insulte au professionnalisme des gens.) parce que «le monde savent pas utiliser les machines», qu'ils disent !

Au lieu de laisser les gens apprendre de leurs erreurs, on les a maintenu dans un état d'ignorance en les traitant d'imbéciles et d'incapables et en les faisant sentir cheap quand ils avaient le malheur de faire une fausse manoeuvre sur leur machine. Moi, je comprends très bien les enseignants qui ne veulent plus utiliser des ordinateurs dans des conditions de servitude et de dépendance envers les techniciens et les services informatiques. C'est un peu comme si c'était la secrétaire de l'école qui décidait de la manière qu'il faut que les enseignants enseignent le français. Il est urgent que les enseignants puissent expérimenter avec les TIC, qu'on les laisse jouer, se tromper, gaffer. Qu'on leur permette enfin de manipuler les ordinateurs comme bon leur semble. Si on commence maintenant à les laisser libres de faire ce qu'ils veulent avec les TIC, peut-être aura-t-on dans cinq ou six ans des enfants qui pourront développer une véritable compétence TIC dans un environnement scolaire.

Je crois qu'il faut impérativement que les services pédagogiques des CS mettent enfin leur culotte et imposent que les services informatiques deviennent ce qu'ils auraient toujours dû être : un service. Pas un service « on te dit quoi faire/pis si tu fais autrement/compte pas sur notre service », un service tout court!

En naviguant, deux petites découvertes :

D'abord cet excellent petit blogue auquel vous pouvez d'ailleurs participer : Un livre un objet. Vous vous rendrez compte qu'il y a autre chose à lire que les sempiternels Da Vinci Code et ses clones.

Cet autre site s'adresse aux débutants Vimeux (utilisateur de VIM). Ce qui me fait penser qu'un de ces jours, il faudrait bien que j'écrive un petit billet sur les éditeurs de texte par rapport aux traitements de texte.

« À Kœnigsberg, en Poméranie, il y a une île appelée Kneiphof; le fleuve qui l'entoure se divise en deux bras, sur lesquels sont jetés les sept ponts a, b, c, d, e, f, g. Cela posé, peut-on arranger son parcours de telle sorte que l'on passe sur chaque pont, et que l'on ne puisse y passer qu'une seule fois? Cela semble possible, disent les uns; impossible, disent les autres. »

C'est ainsi que commence un fameux Mémoire d'Euler : Solution problematis ad Geometriam situs pertinentis (1736). La solution d'Euler est d'une très grande beauté. Évidemment, dans son Mémoire, Euler généralise sa solution au problème. Je me contenterai ici d'utiliser sa méthode pour résoudre le problème précis des ponts de Kœnigsberg.

1. Euler commence d'abord par schématiser le problème.

2. Il indique qu'on pourrait le résoudre «en faisant l'énumération complète de tous les parcours possibles; on reconnaîtrait ainsi s'il existe ou non un chemin qui réponde à la question.» Euler, rejette cette manière, car il désire aussi une solution qui s'appliquerait à plusieurs situations du même genre. De plus, il signale «qu'après avoir terminé l'opération on aurait rencontré un grand nombre de choses qui ne sont pas en question; c'est en cela, sans aucun doute, que réside la cause d'une aussi grande difficulté.»

3. Euler indique par A, B, C, D les quatre régions séparées par les bras du fleuve : « [...] si on passe de la région A dans la région B, soit par le pont a, soit par le pont b, je désigne ce chemin par AB. Maintenant si le voyageur passe de la région B à la région D, par le pont f par exemple, je désigne la seconde traversée par BD, et l'ensemble des deux passages par ABD; ainsi, la lettre intermédiaire B désigne en même temps la région d'arrivée après la première traversée, et la région de départ pour la seconde.»

4. Euler tire de cette notation une première conclusion : si on passe un pont, le trajet aura deux lettres. Si on passe deux ponts, le trajet aura trois lettres, etc. Dans notre problème particulier, le trajet ainsi noté aura donc huit lettres, puisqu’'on désire passer une et une seule fois sur les sept ponts. (Euler généralise en disant que pour n ponts, on aura (n+1) lettres.

5. Euler observe ensuite que si 1 pont mène à une région, la lettre de cette région apparaîtra une seule fois dans le parcours. Si 3 ponts y mènent, la lettre apparaîtra 2 fois (soit qu'au début on parte de cette région ou d'une autre quelconque.) Si 5 ponts y mènent, la lettre apparaîtra 3 fois. Encore une fois, dans son Mémoire, Euler généralise en disant que si le nombre de ponts est 2n + 1 (un nombre impair), alors le nombre de lettres de la région est n + 1.

6. Dans le cas de Koenigsberg, en franchissant tous le ponts :
Région A, 5 ponts, la lettre doit apparaître 3 fois.
Région B, 3 ponts, la lettre doit apparaître 2 fois.
Région C, 3 ponts, la lettre doit apparaître 2 fois.
Région D, 3 ponts, la lettre doit apparaître 2 fois.

Donc, le parcours doit avoir un minimum de 9 lettres. Or, au point 4, nous avons démontré que la solution du problème exige un parcours de 8 lettres. Donc, la solution cherchée est impossible !!!

Mes constats :
L'énoncé du problème est très simple. À la volée, n'importe qui peut tenter de trouver une route remplissant les conditions. Après quelques essais, on se rend compte qu'y trouver une réponse, par contre, est un défi de taille.

Le problème en soi n'est pas très pratique et ne sert réellement à rien. C'est plutôt une question ludique.

La solution, quant à elle, est brillante. Euler fait d'abord un diagramme de la situation en y accolant quelques symboles. Puis, il formule le problème à partir de raisonnements sur ces symboles. Il constate alors que si la condition du problème est remplie alors elle implique une contradiction. Ce qui signifie que les conditions ne peuvent se réaliser! C'est ce qu'on appelle couramment une preuve par l'absurde : on suppose le problème résolu, et on constate une conséquence impossible !

Aussi, la technique pour le résoudre ressemble étrangement à la méthode du problème de mon billet La beauté I. Dans ce dernier, on ajoutait de la couleur aux cases et on raisonnait à partir de cette nouvelle dimension. Apposer de la couleur aux cases du damier est équivalent à nommer les régions A, B.. Colorer les dominos est un peu comme noter les ponts a, b, c... Dans les deux cas, les superpositions des réalités (dominos sur cases, ponts sur régions) amènent une impossibilité.

Comme mentionné au billet La beauté I, il est dans mes convictions profondes qu'il faut baigner l'élève dans ce type de problèmes et dans les solutions apportées. On guide alors l'élève vers des rapprochements heuristiques et méthodologiques.

«L'heuristique se distingue de la méthodologie en ce sens qu'elle est plus une réflexion sur l'activité intellectuelle du chercheur que sur les voies objectives de solution.» (Alain BIROU, 1966)

Dernière remarque : on s'entend généralement pour dire que ce Mémoire est un texte fondateur de ce qu'on connaît aujourd'hui comme la théorie des graphes.

Lectures suggérées

É. Lucas, Récréations mathématiques T.1, Albert Blanchard, 1977
Biggs, Lloyd et Wilson, Graph Theory 1736-1936, Clarendon Press, 1977.
Article Euler, sur Wikipédia.

Imaginez une machine vous permettant de remonter le temps. Cette machine ne peut vous donner qu'une heure, une toute petite heure dans le passé. À quel personnage célèbre rendriez-vous visite ? Quelles questions lui poseriez-vous?

Pour ma part, la réponse est immédiate. Je dirige la machine vers Toulouse, en l'an 1660. Dans un petit bureau du Parlement municipal, un homme de 52 ans s'amuse à faire des mathématiques. Je lui demanderais alors : « Montrez-moi, M. Pierre de Fermat, cette belle preuve que la marge de votre Arithmétique de Diophante ne peut contenir. Vous savez ? cette démonstration de l'impossibilité de décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissante quelconque en deux puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance... Cette preuve est, dites-vous, admirable. J'aimerais tant que vous me la partagiez ! »

XLogo est écrit en JAVA. Comme je voulais l'essayer, je me suis amusé à installer JAVA JDK 5.0 en m'aidant de cette page web.

Voici mes deux premières procédures et l'illustration du résultat.

pour carre
repete 4[avance 100 tournedroite 90]
fin

pour plusieurscarres
repete 360[carre tournedroite 1]
fin
J'aimerais bien, au cours de l'année scolaire qui vient, amener les enseignants à utiliser tout le potentiel pédagogique du LOGO. Aujourd'hui, on parle du language LOGO comme faisant partie de l'histoire. Mais je n'ai vraiment jamais rencontré un enseignant dont les élèves l'avaient utilisé à fond pour développer des concepts mathématiques.

Thirty-nine places of PI suffice for computing the circumference of a circle girdling the known universe with an error no greater than the radius of a hydrogen atom!
Clifford Pickover, Keys to Infinity, p.62, Wiley, 1995

«En général, si vous voulez bien faire votre travail dans une entreprise, il faut le faire CONTRE vos supérieurs hiérarchiques - mais évidemment sans qu'ils le sachent. Mais avancer ainsi masqué est bien épuisant. Et puis il faut se débarrasser du besoin d'être approuvé, ce qui n'est pas toujours évident. Il vaut mieux connaître un peu la nature humaine, apprendre à désobéir aux ordres stupides sans le montrer, jouer la «comédie de la hiérarchie» et en connaître les principes (de Peter, ha ha ha), déterminer vos propres lois, et objectifs. Solitude, autonomie : samouraï !»
Jean-Pascal, Journal, mai 2005.


Lecture suggérée : Jacques Sternberg, Vivre en survivant, Éd. Tchou, 1977

Il peut arriver de tomber en amour avec un problème. Tel fut mon cas pour celui-ci :


C'est un tableau de 8 cases sur 8 cases auquel on a retranché la case inférieure droite et la case supérieure gauche. Le problème est de démontrer qu'il est possible (ou impossible) de couvrir les 62 cases à l'aide de 31 dominos qui englobent eux-mêmes deux cases contiguës.

Si vous prenez le temps de construire le matériel pour faire vos propres essais, vous vous rendrez bien vite compte que la chose est loin d'être simple. Plus vous ferez des tentatives, plus vous serez persuadé qu'il est probablement impossible de remplir la condition. Or on cherche ici une preuve et non pas seulement une vague impression.

C'est là qu'entre toute la beauté d'un ingénieux HAHA. Le problème avec les intuitions géniales est qu'elles peuvent survenir en 10 secondes, en 10 jours, en 10 ans ou jamais... Je vais donc ici vous dévoiler ce HAHA.

Colorons alternativement les cases en blanc et noir.

Le tableau contient maintenant 30 cases blanches et 32 cases noires, puisque les deux cases de coin supprimées sont blanches. Or, les dominos couvrent nécessairement une case blanche et une case noire puisqu'ils couvrent des cases contiguës. Nous avons au total 31 dominos. Donc, en supposant qu'il soit possible de les placer, ils couvriront 31 cases blanches et 31 cases noires. Cela est donc impossible puisque nous n'avons que 30 cases blanches. CQFD.

Je crois profondément que même si vous détestez ce type de problèmes, vous ne pouvez qu'être estomaqué devant une telle démonstration du raisonnement humain. Cette solution est à mon avis d'une très grande beauté. Elle est simple, ingénieuse, brillante. Cette solution illustre la force de notre cerveau et je vois difficilement comment un superordinateur équipé d'une intelligence artificielle grandiose pourrait arriver à une telle solution. Mais s'il y arrivait, alors je donnerais certainement le statut de vivant à cette machine.

Revenons un peu sur le problème pour en tirer quelques observations.

1. Il est aculturel car aucune connaissance préalable n'est nécessaire;
2. Il est de la catégorie essaie-erreur où tous les essais seront ratés;
3. Il est extrêmement plate, et ne semble avoir aucune utilité pratique;
4. Son énoncé est très simple;
5. Il n'attirera probablement que peu de personnes.

Pour ma part jamais je ne demanderais à des élèves de le résoudre.

Cependant, je n'hésiterais pas un instant à le leur soumettre. Et après cinq minutes maximum d'essais, je leur balancerais la solution. Car, voyez-vous, le grand intérêt ici réside justement dans la beauté de sa solution, et dans les discussions qui risquent d'en découler. D'ailleurs, mon objectif serait de vérifier si les élèves sont capables d'apprécier une telle solution. (Pourquoi n'existe-t-il pas une compétence intitulée «Apprécier des oeuvres mathématiques»?) De plus, il est dans mes convictions très profondes qu'il faut montrer des centaines de problèmes et solutions aux élèves et tenter avec eux de dégager les caractéristiques de ces solutions de manière à ce qu'ils puissent construire une banque «expériencielle» de raisonnements mathématiques.

Mais au fait, qu'en est-il de cette solution?

1. Elle est extrêmement simple mais extrêmement difficile à trouver (HAHA!) ;
2. La solution consiste à ajouter des éléments qui n'y étaient pas (le noir et le blanc);
3. Les dominos sont aussi notés (blanc-noir);
4. Cette notation du problème a permis ensuite de le résoudre par simple raisonnement arithmétique.

Lorsque j'ai lu ce billet de François Guité sur la beauté, j'ai immédiatement pensé à ce problème dont la solution m'épate toujours autant.

Ce billet se veut aussi un complément à un commentaire de Benoit St-André laissé sur ce billet.

Le HTML (HyperText Markup Language) est le véritable crayon du web. C'est à l'aide de ce langage qu'on crée des pages web. Pour avoir une idée de ce à quoi ça ressemble, de votre navigateur, choisissez l'option afficher le code source. Vous verrez alors ce qui se cache derrière la page que vous lisez.

CSS est l'acronyme pour Cascading Style Sheets. C'est aussi un langage qui s'intègre au HTML pour donner du style à la page.

Dans ma CS, il y a un enseignant qui dès le deuxième cycle du primaire, permet aux élèves de faire leurs pages web personnelles à l'aide du Blocnote de Windows. Autrement dit, les petits écrivent directement le code HTML dans cet éditeur de texte. C'est donc dire que le HTML ne demande pas un doctorat pour être utilisé.

Les CSS viennent à peu près immédiatement après un apprentissage de base du HTML. Il est donc envisageable que dès le troisième cycle du primaire, les jeunes puissent utiliser ce langage dans la structure de leurs pages web.

Or dans les CSS, il y a un truc très intéressant qui s'appelle le positionnement d'éléments. Le concept est fort simple. Par exemple, sur le blogue que vous lisez en moment, la fenêtre principale fait tout l'écran (le fond d'écran vert le délimite). Sur cet écran, le programmeur a positionné un élément à l'intérieur duquel deux autres éléments (deux colonnes) sont placés côte à côte. Les CSS permettent de positionner de manière très précises de tels éléments sur un écran.

Pour vous donner une petite idée de tout ça, voyez la figure ci-dessous (pour les besoins de l'exemple, nous supposerons que le carré rouge fait 100 pixels x 100 pixels) : Nous avons positionné le bloc bleu à peu près au centre du bloc rouge. Dans le langage CSS, cela pourrait se traduire ainsi :
left:25px top: 25px bottom:25px right:25px
qui signifie que

• le côté gauche du bloc bleu est situé à 25px à droite du côté gauche du conteneur;
• le côté haut du bloc bleu est situé à 25 pixels en bas du côté haut du conteneur;
• le côté bas du bloc bleu est situé à 25 pixels en haut du côté bas du conteneur;
• le côté droit du bloc bleu est situé à 25 pixels à gauche du côté droit du conteneur.

Question de m'assurer que vous avez bien compris, ici : on pourrait décrire la situation ainsi :
left:50px top:50px bottom:0px right:0px.
Mais qu'arrive-t-il si on déplace la bloc positionné un peu à l'extérieur du conteneur ? Comment décrire cette position?

L'illustration ci-dessous met les repères essentiels : Remarquez comment le positif se retrouve toujours à l'intérieur du conteneur, ce qui, vous en conviendrez est assez logique. Et donc, un positionnement comme l'illustration ci-dessous : se noterait à peu près ainsi : left: 75px top: -25px right: -25px bottom: 50px
Remarquez la superbe introduction des nombres négatifs pour préciser le sens du positionnement du côté. Notez aussi que dans le même système, se déplacer vers la droite peut être positif si c'est le côté gauche qui se déplace (flèche 1) ou négatif si c'est la côté droit qui se déplace (flèche 4). N'est-ce pas là quelque chose de remarquable et d'inusité mais, dans le fond, très logique. Notez aussi la nécessité d'utiliser quatre nombres pour préciser la position. (Par comparaision, dans le plan cartésien, deux nombres seulement sont nécessaires.) Si on veut, c'est une espèce de géométrie à quatre dimensions et, mathématiquement parlant, on pourrait sans doute construire toute une série de théorèmes sur cette géométrie. On pourrait même introduire une troisième (cinquième?) dimension car le CSS permet de donner une priorité à la visibilité des objets. Dans les cas ci-haut, on pourrait par exemple basculer le bloc bleu derrière le bloc rouge.

L'intérêt de baigner l'élève (qui le désire) dans un tel système est justement le fait qu'il s'approprie et manipule concrètement un système, une convention. Lorsqu'il sera appelé, plus tard, à étudier le système cartésien ce ne sera plus pour lui qu'un autre système de positionnement, une autre convention. De la même manière, lorsqu'il étudiera le système de coordonnées sphériques où, pour positionner un point, on donne une longueur et un angle.

L'avantage du CSS (et de toute programmation informatique) réside dans l'expérience directe de la résolution de problèmes car on voit ce que ça donne en testant immédiatement son code. Quoi de mieux pour développer sa compétence à résoudre des problèmes?

De plus en plus de programmeurs savent maintenant allier intelligemment le PHP, le JavaScript, le CSS et le HTML. Je viens tout juste de télécharger l'éditeur WYSIWYG SPAW qui est un bel exemple de ce judicieux mélange. La démo illustre bien tout le potentiel de cette application. De plus, ce projet est livré sous licence GPL et est facilement intégrable à d'autres projets PHP car il suffit de créer un objet SPAW à même nos scripts. Cependant, je ne comprends pas cette licence flexible pour les applications commerciales. Vous pouvez m'expliquer la chose?

[William James (1842-1910)] affirme que la vérité est relative aux procédures de vérification expérimentale, à la communauté d'une époque, à un contexte théorique, etc. Elle n'est donc pas la propriété inhérente d'un énoncé; elle n'est qu'un «événement» - c'est-à-dire une affirmation momentanément et partiellement juste, et fiable.
La Philosophie de A à Z, p.231, Hatier, 2000

[Bertrand Russell (1871-1970)] refuse de faire de l'esprit et de la matière deux substances indépendantes. Récusant la notion de «sujet», il en vient à considérer le monde mental et le monde physique comme deux expressions différentes d'une même substance neutre.
La Philosophie de A à Z, p. 396, Hatier, 2000

Avertissement

Cet article fait suite à mon billet où un élève cherchait à comprendre que le produit de deux entiers négatifs donne un nombre positif. Dans cette suite, je tiens pour acquis que le concept de soustraction chez les entiers est très bien compris par l'élève.

ÉLÈ : Puis-je vous déranger un instant?
En soulevant les yeux de son livre, il aperçut son élève de sa dernière classe de récupération.
ENS : Bien sûr, assieds-toi.
ÉLÈ : Ça ne fonctionne pas votre truc de billes blanches et de billes noires.
Sourire de l'enseignant.
ENS : Et pourquoi donc?
ÉLÈ : Vous avez vos billes ? Je vais vous montrer...
L'enseignant sortit les deux boites de son jeu de Go. L'élève prit alors 5 billes noires dans sa main droite et 4 billes blanches dans sa main gauche.



ÉLÈ (fièrement) : Dans votre système, on a -5 d'un côté et +4 de l'autre.
L'enseignant était content. Le rapport concert/abstrait était pour lui une grande satisfaction pédgogique.
ÉLÈ (continuant, esquissant un large sourire sarcastique) : Mais dites-moi donc lequel est le plus grand des deux?
L'enseignant était heureux. L'élève creusait maintenant dans les concepts. Comme il ne répondait pas à l'élève, ce dernier ajouta :
ÉLÈ : Vous voyez bien que votre système basé sur «+1 et -1 équivalent au neutre» ne fonctionne pas ! Curieusement, l'élève semblait manifester de la déception.
ÉLÈ (continuant) : Après la récupération de l'autre jour, j'ai expliqué plusieurs fois votre système à des copains... jusqu'à ce que mon prof de math le jette par terre avec cette question. Il m'a dit que ce système était bien beau, mais qu'il ne pouvait tout expliquer chez les entiers. «Preuve étant cette notion de plus grand et de plus petit» a-t-il dit.
ENS (rageant intérieurement contre l'enseignant de math de l'élève) : Intéressant.
ÉLÈ : C'était quand même cool, les billes. Mais comme c'est un truc comme un autre...
ENS : Tut, tut, tut. Ce n'est pas un truc!
Puis, prenant une respiration...
ENS : Essayons de creuser un peu plus, veux-tu?
L'élève haussa les épaules.
ENS : Tu te rappelles sans doute que pour comprendre la multiplication chez les entiers, nous avons commencé par explorer ce concept chez les naturels.
ÉLÈ : Oui.
ENS : Bon. Qu'en est-il de l'idée d'ordre de grandeur chez les naturels? Par exemple, comment peut-on dire que 5 est plus grand que 2, par exemple?
ÉLÈ : C'est évident. 5 est plus grand que deux.
ENS : Bien sûr. Mais comment as-tu fait pour le savoir?
ÉLÈ : Bien... si j'ai cinq objets, j'en ai certainement plus que si j'en ai deux! En fait, j'en ai trois de plus !
ENS : Comment ça, trois de plus?
L'élève commençait à trouver très bizarres les pseudo-ignorances du prof.
ÉLÈ : 5 - 2 = 3. C'est tout.
ENS : Donc, tu as soustrait. Es-tu d'accord que pour déterminer si un naturel est plus grand qu'un autre, on doit inconsciemment soustraire?
ÉLÈ : Ouais.
ENS : Mais si tu avais fait 2 - 5...
ÉLÈ (interrompant) : 2 - 5 est impossible chez les Naturels car deux est plus petit que cinq.
ENS : ERREUR !!! Il ne faut pas dire «Puisque deux est plus petit que cinq, alors 2 - 5 est impossible»". Il faut plutôt dire «Puisque 2 - 5 est impossible, alors 2 est plus petit que cinq.»
ÉLÈ : Bof ! C'est la même chose.
ENS (qui voyait ici une belle occasion d'entrer dans un raisonnement logique) : Mais non, ce n'est pas du tout la même chose. Dans le premier cas, tu présupposes que 2 est plus petit que 5 avant d'avoir fait la soustraction. Dans le second cas, on exécute la soustraction et ensuite on conclut que 2 est plus petit que 5. Autrement dit, pour déterminer lequel de deux nombres est supérieur ou inférieur à l'autre, on doit d'abord effectuer une soustraction. Je résume ainsi...
Et l'enseignant prit une feuille de papier et poursuivit son explication :

Supposons deux nombres naturels (on va les appeler nombre_1 et nombre_2 pour la cause.)
En les soustrayant, trois choses peuvent se produire :
1) nombre_1 - nombre_2 donne quelque chose.
ÉLÈ (interrompant) Ouais, c'est le cas si nombre_1 est plus grand que le second.
ENS : En effet, si nombre_1 - nombre_2 donne quelque chose, alors on définit le premier nombre comme étant plus grand que le second. Prenons le second cas. Si nombre_1 - nombre_2 est impossible alors on définit le premier nombre comme étant plus petit que le second. Le troisième cas représente l'égalité : Si nombre_1 - nombre_2 donne 0, alors on dira que les deux nombres sont égaux.
ÉLÈ : N'est-ce pas un peu tortueux tout ça?
ENS : Notre esprit est en effet tortueux. Un des aspects intéressants dans les maths est d'arriver à dénouer tout ça. Tout ce que j'essaie de te dire ici, c'est que pour développer la notion de grandeur chez les nombres, on doit d'abord s'appuyer sur le concept de la soustraction de ces nombres. C'est tout.
ÉLÈ : Hum... Dans le fond, ce que vous voulez me dire, c'est que pour connaître la relation de grandeur entre -5 et +4 par exemple, on devrait d'abord les soustraire.
ENS (très fier de son coup) Exactement !!!
ÉLÈ : Ouais, mais chez les entiers, la soustraction donne toujours quelque chose. Par exemple : -5 - +4 donne -9 (neuf billes noires) et +4 - -5 donne +9 (neuf billes blanches). Je ne suis pas très avancé...
ENS (très, très heureux) : Au contraire ! Reprenons un peu le raisonnement que nous avons fait chez les naturels. Supposons deux nombres ENTIERS et appelons-les entier_1 et entier_2. Effectuons une soustraction, juste pour voir.
ÉLÈ : Mais on ne sait pas la valeurs des entiers....
ENS (se retenant de parler d'algèbre). Effectivement, mais tu verras que ce n'est pas très important. Soustrayons tout de même.
entier_1 - entier_2.
ÉLÈ : ???
ENS : Quelles sortes de réponses peut-on avoir?
ÉLÈ : Mais je le répète, on ne sait pas!
ENS (patient) : Tu sais, je ne veux pas la réponse, mais la sorte de réponse.
L'élève réfléchissait et comprenait sans doute mal la question.
ENS (voulant faire le rapprochement avec le même raisonnement appliqué plus haut chez les naturels). Tu te rappelles, chez les Naturels non plus on ne savait pas la réponse, mais on pouvait dire si la réponse existait, était impossible ou valait 0. Peut-on faire le même type de constat chez les entiers?
ÉLÈ : La réponse est toujours possible chez les entiers.
ENS : Oui, bien sûr, mais n'y a-t-il pas des catégories de réponses?
ÉLÈ :???
ENS (se sentant obligé de donner un petit coup de pouce). Es-tu d'accord pour dire qu'après la soustraction, il est très possible que le résultat soit des billes blanches, des billes noires ou l'état neutre.
ÉLÈ (éclairé) : Oui, oui, bien sûr.
ENS : C'est là-dessus que les mathématiciens se sont basés pour DÉFINIR l'ordre de grandeur chez les entiers. Très arbitrairement, ils ont défini que

• si le résultat de la soustraction est une bille blanche (un nombre positif) alors on définit le premier nombre comme étant plus grand que le second.
• si le résultat de la soustraction est une bille noire (un nombre négatif) alors on défit le premier nombre comme étant plus petit que le second.
• si le résultat est l'état neutre, alors on définit les deux nombres comme étant égaux.

Par exemple, -10 est plus petit que -2 car le résultat de -10 - -2 est négatif. Par contre -10 est plus grand que -20 car -10 - -20 donne un positif.
L'élève hochait la tête.
ENS : Cette convention en fait n'est pas totalement illogique. Par exemple, chez les naturels, 5 est plus grand que 4. Il est bon de retrouver à peu près cette même idée chez les entiers, c'est-à-dire que +5 soit plus grand que +4. Mais pour que cela soit logique, il faut définir que s'il reste des entiers positifs alors le premier nombre est plus grand que le second.
ÉLÈ : Donc, tout est une question de définition?
ENS : Une définition à laquelle tout le monde adhère. On pourrait très bien faire des mathématiques en définissant qu'un nombre est plus grand qu'un autre si le résultat de la soustraction est un négatif. Ce qui est important de comprendre ici est qu'une définition de l'ordre de grandeur ne peut faire du sens que si tu comprends bien au préalable le concept de soustraction. On soustrait et ensuite on définit selon le style de la réponse...
L'enseignant continua.
ENS : C'est ainsi que l'on peut ordonner tous les entiers les uns par rapport aux autres. Dans ton exemple du début, si on compare +5 avec -4 on doit les soustraire. Si on fait +5 - -4, on obtient des billes blanches, donc +5 est plus grand que -4. Par contre, si on fait -4 - +5, on aura des billes noires, donc, -4 est plus petit que +5.
L'élève semblait satisfait de l'explication.
ÉLÈ (en souriant) : Je vais parler de ça avec mon prof de maths...

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Notes pédagogiques

Je crois que tous les auteurs qui abordent en entrée de jeu la notion des entiers en les déposant, bien en ordre, sur une droite numérique font une énorme bourde pédagogique. L'élève qui est confronté à cette vision n'y voit qu'un autre modèle arbitraire qui sort d'on ne sait trop où. Comme mon texte le suggère, il faut aborder la notion d'ordre après que le concept de soustraction ait été bien placé.
La droite numérique n'est ensuite qu'un modèle permettant d'illustrer l'ordre chez les entiers. On la définit ainsi : si un nombre est plus grand qu'un autre, il doit être positionné à la droite de l'autre. Si un nombre est plus petit qu'un autre, il doit être positionné à la gauche de cet autre. Je crois qu'il faut amener les élèves à construire eux-mêmes cette droite. Je suggère de poser au tableau une ligne horizontale. Ensuite, on peut donner aux élèves de la classe un entier qu'ils devront positionner à tour de rôle sur cette droite commune.
Supposons que le premier élève ait un +5. Il se lève et le place à quelque part (peu importe où) sur la droite. Le second élève a -2. Il doit décider s'il le positionne à gauche ou à droite de +5. Ce qui pourrait donner : Le troisième élève qui a +3 à positionner doit le comparer à +5 (va à sa gauche) et à -2 (va à sa droite). Ensuite, -9 doit être positionné à la gauche des trois nombres déjà placés.
Par la suite, on pourrait avoir quelque chose comme :
Notez la non-importance qui est accordée à la distance entre les entiers. Notez aussi qu'on n'a pas pris la peine de poser d'abord le 0 (zéro) sur la droite. Toute l'importance est mise sur l'ordre. On pourrait en profiter pour demander aux élèves s'ils croient qu'il puisse exister quelque chose entre les deux entiers du genre +3 et +4. Ils devraient justifier leur réponse. Et sans doute parviendront-ils à une définition d'entiers consécutifs. Cette définition vaut son pesant d'or, car je rappelle qu'il n'existe pas, par exemple deux rationnels consécutifs ou deux rééls consécutifs. La «consécutivité» est une notion très riche que le cerveau humain tente d'appliquer à plusieurs situations et mérite qu'on s'y attarde un peu avec les élèves. On pourrait aussi aborder la notion du vide (il n'existe RIEN entre -2 et -3 chez les entiers) et faire un lien avec les sauts quantiques. On pourrait aussi explorer les concepts de continuité et de discontinuité (le continu et le discret).
Cette simple idée (poser en ordre les entiers sur une droite) est tellement banalisée dans les manuels scolaires qu'on a tout oublié de sa profondeur.