Jobineries

Blogue de Gilles G. Jobin, Gatineau, Québec.

jeudi 28 avril 2005

Au colloque des RÉCIT

Je suis actuellement avec un groupe de merveilleux profs au colloque des RÉCIT de l'Outaouais.

J'espère recevoir quelques commentaires !

vendredi 22 avril 2005

Lire ensemble

Ce billet de Clément me donne une idée : Que tous les Québécois lisent au moins un livre pendant un mois qui serait consacré à la lecture.

Par tous les Québécois, j'entends le bébé naissant, le malade incapable de se concentrer sur un livre, la mère de famille occupée à jouer la wonder woman, le politicien menteur, l'analphabète, etc. Tout, mais absolument tout le monde, lirait ! Pour ceux qui ne peuvent lire eux-mêmes, une personne devra alors se charger de leur faire la lecture.

La fin du mois venu, on ouvre un super site web où tous ces Québécois viendront nous dire ce qu'ils ont lu pendant ce mois. Plus de 6 millions d'entrées.

On pourrait se préparer pendant un an à ce mois de la lecture : les éditeurs nous feraient des suggestions, les enseignants publiciseraient quelques livres auprès de leurs élèves, les familles discuteraient de choix possibles à l'heure des repas, les collègues de travail s'échangeraient des pistes de lectures, etc. Une année à parler de livres, une année à préparer son choix...

mardi 19 avril 2005

S'assimiler

« Si un livre, réputé bon, vous coûte à lire, surmontez-vous. Habituez-vous à comprendre ce que vous n'aimez pas, afin d'arriver à aimer ce que vous n'aviez pas compris. L'esprit a ses injustices, ses partialités, ses éloignements instinctifs. Je connais des gens qui s'y sont pris à plusieurs fois pour goûter cet admirable Montaigne qui devrait être le livre de chevet de tout littérateur. On ne s'assimile rien instantanément. »
Antoine Albalat, La Formation du Style par l'assimilation des Auteurs, Armand Collin, 1901

dimanche 17 avril 2005

L'univers du zéro

Nasrudin était en train de jeter des poignées de pain à la ronde, autour de sa maison.
- Qu'est-ce que vous faites ? demanda quelqu'un.
- C'est pour tenir les tigres éloignés.
- Mais il n'y a pas de tigres par ici.
- Exactement. C'est efficace, hein?
Idries Shah, Les Soufis et l'Ésotérisme, p.75, Payot, 1972


Notre conception de l'univers est contenue dans l'idée du zéro.

Prenons le cas des entiers. Ma définition des nombres entiers est illustrée dans la figure ci-dessous. Il s'agit là d'une conception très cardinale (par opposition à une conception ordinale) du nombre entier.


De cette définition, 0 est le digne représentant symbolique de l'état dit neutre. C'est là où nous ne sommes ni au-dessus ni en dessous, ni à droite ni à gauche, sans dette ni revenu, ni positif ni négatif. C'est un zéro sans signe, la neutralité parfaite.

Allons un peu plus loin. Imaginons la soustraction suivante : +4 - +4. Réponse immédiate : 0 !!!

Mais quel sens donner exactement à ce zéro? On peut donner le sens de rien comme dans l'expression il ne reste rien. Ce rien est-il le rien neutre? Représente-t-il le même rien que dans l'opération : +4 + -4 puisque que quatre billes blanches neutraliseront (par définition) quatre billes noires. Intuitivement, je suis mal à l'aise d'écrire : +4 - +4 = 0, où le 0 est le symbole du neutre. J'inclinerais plutôt vers +4 - +4 = +0 !!!

- Mais c'est la même chose, me diront certains !
- Pourquoi est-ce la même chose?
- Bien, c'est évident !!! Il n'y a plus rien.
- Ce rien correspond-il à une absence?
- ???
- Dans votre esprit, est-ce que rien est équivalent à l'absence de quelque chose? Quelle distinction faut-il apporter au regard de l'idée du vide?
- Le vide et l'absence, c'est la même chose, non?
- Voyez ce 5$ que j'ai dans ma main. Si vous me l'enlevez, que reste-t-il?
- Rien. Il ne reste rien.
- Et tous les riens se valent-ils?
- ???
- Si je vous dis que, dans ma main, il y a 0 tigre, seriez-vous d'accord?
- Mais c'est ridicule. Il est question de dollars, pas de tigres ma foi!
- Mais 0 tigre et 0 dollar, c'est toujours 0, non?
- GRRRR.

Ce dialogue imaginaire illustre mon propos : le contexte (l'univers) dans lequel on opère doit, pédago-logiquement parlant, être toujours clair. Si, dans l'univers des entiers Z, on enlève +4 à +4, alors il ne reste aucun nombre positif, donc +0. C'est le même raisonnement qu'on peut apporter à l'opération -4 - -4 pour justifier 0 "négatif".

samedi 16 avril 2005

Le nombre naturel

Si l'épistémologie des nombres naturels vous intéresse, lisez Les multiples racines des nombres naturels et leurs multiples interprétations de Rémy Droz. Cet article, publié en 2004, me fait prendre conscience que j'ai une conception/vison/compréhension cardinale du nombre naturel.

Les entiers et la didactique

Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'oeuvre de l'homme.
Leopold Kronecker


[...] the positive integers should not be identified with the signless natural numbers.
W. L. Schaaf, Basic Concepts of Elementary Mathematics, Wiley, 1960


Ce n'est plus un secret pour les lecteurs de ce blogue : les nombres entiers me fascinent. J'aimerais illustrer, dans ce court billet, la puissance didactique des entiers. C'est à dire, comment ces nombres éveillent certaines difficultés inhérentes à l'enseignement des mathématiques. Cela pourrait être le canevas d'une formation donnée aux enseignants.

1. Une définition

Aux élèves, les enseignants émettent souvent que la création des entiers provient du fait qu'on ne peut soustraire un plus grand nombre d'un plus petit. Par exemple, 5 - 3 existe chez les naturels, mais 3 - 5 y est impossible.
Profitons de ce constat pour inventer une nouvelle notation :
(a,b) serait l'entier défini par l'expression a - b.
On dira que cet entier est positif si a est plus grand que b et est négatif si b < a. Si a =b, l'entier sera appelé 0.
Par exemple, (5,1) est l'entier défini par 5 - 4 soit +1.
Et (1,5) est l'entier défini par 4 - 5 soit -1.

- Ridicule!, me lancera-t-on. Pourquoi se compliquer la vie avec cette nouvelle notation ??? Les négatifs, ce sont -1, -2, -3... et les positifs sont +1, +2... Et puis, deux nombres pour décrire un entier, c'est stupide non?
- Pas tout à fait, répondrais-je. On ne s'étonne pas d'une notation de type 3/4, 5/9 pour décrire les rationnels : deux nombres naturels séparés par une barre oblique. Cette notation est basée sur l'opération division. Pourquoi s'étonnerait-on de décrire un entier comme je viens de le faire? Par ailleurs, un avantage évident de cette symbolique est d'éviter la confusion entre le symbole + des entiers positifs et l'addition et le symbole - des entiers négatifs et la soustraction.

Voilà un premier choc didactique : les enfants qui voient pour la première fois la notation des fractions doivent certainement angoisser. Il faut en tenir compte!

2. L'égalité

Regardez ces trois entiers : (5,10), (12,17), (101,106). Tous trois représentent le même nombre entier (soit -5 dans la notation classique).

-Vous voyez bien que tout cela est ridicule, me lancera-t-on. -5, C'EST -5. Les élèves vont être perdus avec votre affaire !
-Ah oui ? répondrais-je. Pourtant, 2/4, 100/200, 27/54 représentent bien le même rationnel, soit 1/2. Pourquoi ne pas vous étonner de ce fait notationnel chez les fractions et s'en étonner chez les entiers?

C'est là un deuxième choc didactique.

3. Les opérations

À partir de cette définition des entiers, comment peut-on donner un sens à l'addition? N'oubliez pas que, symboliquement parlant, chez les fractions, l'addition se définit par : a/b + c/d = (ad+cb)/db. Qu'en est-il de la soustraction? De la multiplication? De la division? Faire le parallèle au niveau des difficultés avec les rationnels.

4. La relation d'ordre.

On tient encore très souvent pour acquis la relation d'ordre chez les entiers : on les met tous sur une droite numérique et on signale aux l'élève que si l'entier est à droite d'un autre, alors il est plus grand que cet autre. Mais à partir de notre notation, comment définir la relation d'ordre? Cette difficulté est aussi très présente chez les nombres rationnels. Comment, par exemple, établir la relation d'ordre entre 107/43 et 110/47 ?

Salle d'attente

«Ce genre de livre [le manuel scolaire -GGJ] n’a guère d’intérêt que durant les premières semaines, le temps que s’éteigne le feu d’un nouveau bouquin. Après cela, ça n’a guère plus de piquant qu’un vieux magazine dans une salle d’attente de dentiste.»
François Guité dans un commentaire sur son blogue.

jeudi 14 avril 2005

La commutativité de la multiplication chez les naturels

Ce billet de François m'a trotté dans la tête toute la journée. L'illustration géométrique et très connue de 3x4 = 4x3 me chicotait l'esprit.

Regardez bien : (ici le symbole «x» représente le mot «fois» et non «multiplié par»)

97 x 93 signifie :
93 + 93 +   ...   + 93 
^                    ^
|_______97 fois______|

et 93 x 97 signifie :

97 + 97 +   ...   + 97 
^                    ^
|_______93 fois______|

Regardez encore une fois ce que signifient ces deux expressions. Ne trouvez-vous pas étonnant que cela donne le même résultat? Bien sûr, sans effectuer aucun calcul, vous savez que le résultat est le même, mais il reste que cela semble relever du pur hasard ou encore d'un effet magique des nombres. Je signale cet exemple pour vous faire sentir le côté fantastique (fantasque?) des nombres, pour qu'à quelque part, vous soyez émerveillés par la commutativité. Or, à mon avis, lorsqu'un enfant peut expliquer pourquoi ça marche, pourquoi les deux produits doivent être identiques, alors, et seulement alors, est-on convaincu que le concept de la commutativité de la multiplication chez les naturels est acquis, et est acquis pour toujours. Le rôle de l'enseignant est de s'assurer que l'élève construit sa propre représentation de cette commutativité.

Panoram@th/Panoraplate

J'ai reçu aujourd'hui un exemplaire gratuit de Panoram@th, manuel de mathématique pour la première secondaire de Cadieux, Gendron et Ledoux publié chez CEC.
Comme j'ai une prédilection particulière pour les nombres entiers, j'ai immédiatement sauté aux pages dédiées à ce savoir.
L'introduction est une situation-problème (?!?) où on nous dévoile les opinions que les peuples ou certains penseurs avaient des nombres négatifs.
Ce qui me choque est l'affirmation que « ce n'est pas un hasard si l'on qualifie les nombres entiers positifs de nombres naturels ». C'est là une grave erreur qui risque de mêler grandement les élèves. Pour moi, 2 (naturel) n'est pas +2 (entier). Dans le 2 naturel, l'enfant doit y voir cette idée qui entoure tous les ensembles de 2 éléments. Par exemple, 2 fenêtres, 2 dollars, 2 briques, etc. C'est ainsi qu'on développe l'idée du nombre naturel. Alors que +2 représente une tout autre idée. Dans +2, on groupe tous les ensembles dont on sait qu'il peut y avoir un opposé (ici, -2). Par exemple, +2 pour deux pas à droite, (-2 représentant 2 pas à gauche), +2 pour monter de deux marches, -2 descendre de deux marches, etc. Donc +2 est conceptuellement très différent de 2. Par exemple dans 2 fenêtres, il ne viendrait pas à l'idée d'écrire que nous avons +2 fenêtres. Cela serait tout simplement incohérent car l'idée de -2 fenêtre(s) n'existe pas. Cela dit, plus tard dans le cheminement de l'enfant, lorsqu'on abordera l'idée de sous-ensemble, on peut à ce moment-là faire découvrir que le sous-ensemble de Z composé des nombres positifs possède les mêmes propriétés que l'ensemble des naturels. Ce sont les propriétés opérationnelles (associativité, commutativité, etc.) qui sont semblables, non pas les nombres ! En résolution de problème, ce discernement est très important, car l'élève doit déterminer le contexte dans lequel se déroule le probleme et, par là, justifier l'ensemble des nombres à employer pour le résoudre.

Trois pages plus loin, dans la section Calepin des savoirs, on définit les entiers positifs comme des naturels affublés d'un signe plus ! Et dans l'encart supérieur, sans rien justifier, on mentionne qu'on n'est pas obligé de mettre le plus. Les auteurs n'hésitent pas une seconde, quelques lignes plus bas, à nous envoyer une belle droite numérique où tout est en ordre. (Dans un billet futur qui est actuellement en cours de rédaction - un dialogue entre un prof et un élève - , je démontrerai l'incohérence de cette approche.) Pédagogiquement parlant, je suis tout à fait contre le fait d'enlever ce signe positif quand on est élève débutant avec la manipulation des entiers. Il faut au contraire toujours le garder pour bien signifier que l'univers dans lequel on travaille est celui des nombres entiers et non celui des naturels.
Un peu plus loin, page 133, on mentionne comment soustraire des entiers. Là, je suis tout à fait heureux, car les auteurs illustrent bien que soustraire c'est réellement enlever des éléments à un ensemble. Mais les illustrations se contentent de montrer des soustractions naturellement possibles du genre :
+5 - +2 = +3
-5 - -2 = -3
C'est sur l'autre page que tout ce gâche, car les auteurs ne semblent pas avoir réfléchi aux cas très réels du genre :
-2 - -5 ou +2 - +5.
On nous envoie alors la belle règle sortie d'on ne sait trop où qui stipule que soustraire, c'est additionner l'opposé.

Une chose est certaine, jamais je ne conseillerai d'acheter ce livre. Il contient tout ce que j'exècre en matière de manuel de maths. Notez que ce n'est pas particulier à ce livre : presque tous les manuels que j'ai consultés sont un galimatias d'inepties et de laxisme intellectuel au regard des nombres entiers.

mercredi 13 avril 2005

L'ombre du vent

Je viens de terminer L'Ombre du vent de Carlos Ruiz Zafón, publié chez Grasset en 2004. C'est une traduction de l'espagnol par François Maspero. L'auteur a remporté le prix Planeta 2004 et prix du meilleur livre étranger 2004. C'est en fait la réflexion suivante qui m'a poussé vers le bouquin :

«J'avais besoin d'un livre comme celui là.
Un livre où l'on me parlerait d'autres livres.
Où l'on m'inventerait un cimetière de livres oubliés.
Un livre rempli de lumière.
Pour éclairer mes froides journées d'hiver.»
Le monde d'Allie

Un cimetière de livres oubliés... drôlement attirant...
En fait, ce cimetière n'est quasi pas visité, et j'avoue que toutes mes attentes tournaient autour de ce lieu étrange. À la dernière page, j'ai associé mon sentiment de lecteur au cosinus (de 0 à 2pi) : 150 première pages assez intéressantes, un creux pour les 200 suivantes, et reprise très marquée de mon intérêt pour les 150 dernières. Évidemment, les jolies phrases du livre se retrouveront sur Au fil de mes lectures en fin de semaine. Un petit avant-goût :

Elle s'éloigna dans l'obscurité [...] traînant son ombre comme un voile nuptial. (p. 277)

[...] garde tes rêves [...]. Tu ne peux jamais savoir à quel moment tu en auras besoin. (p.308)

- De quoi souffre-t-il?
- Je pourrais vous dire que c'est du coeur, mais il meurt de solitude. Les souvenirs sont pires que des balles.
(p. 461)
Un livre peut changer une vie. Si ce thème vous intéresse le moindrement, le livre de Zafón est pour vous. Mais attendez qu'il sorte en poche ou alors, achetez-le chez le bouquiniste.

Pour aller plus loin :
Critiques sur Le club des rats de biblio-net
Les lauréats du Prix Planeta
Le résumé du livre chez Pantoute.

mardi 12 avril 2005

Famille blogueuse !

Depuis hier soir, on peut dire que toute ma petite famille a son blogue. Un petit résumé s'impose : D'abord ma Marie, avec son Portfolio-Multi. Malheureusement, elle est plutôt silencieuse depuis quelques mois. Son nouveau poste d'enseignante d'anglais prend tout son temps.
Puis, mes trois filles. Aurélie, ma Cégépienne adorée qui aura 18 ans bientôt. Marie-Élaine, qui m'impressionne par sa grande maturité à sa première année d'enseignement en siences, et mon ainée qui est la toute dernière a avoir son blogue, Andréanne, traductrice (elle parle quatre langues...). Andréanne a un merveilleux fils, Estéban, plus jeune blogueur de l'Outaouais. Du côté de Marie-Élaine, c'est son conjoint qui est célèbre blogueur.
Il ne faut pas oublier mon neveu François qui terminera l'an prochain son bac à l'UQO et sa mère (ma soeur) Hélène.

Constat : Il est plus facile de convaincre sa famille de bloguer que de convaincre ses collègues de travail.

lundi 11 avril 2005

Gerson écrivant


«Gerson écrivant»
Imitation de J.-C.
Manuscrit français XVes.

< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 >