Jobineries

Les travaux actuels des mathématiciens qui, par « abstraction réfléchissante » tirent des opérations nouvelles d'opérations déjà connues ou des structures nouvelles de la comparaison de structures antérieures, aboutissent à enrichir les notions les plus fondamentales, sans les contredire pour autant, mais en les réorganisant de façon imprévue.
Jean Piaget, Psychologie et épistémologie, Denoël/Gonthier, 1970

AQUOPS : Pas de nouvelle, bonne nouvelle???

« Il faut toujours qu'une connaissance ait une valeur d'organisation ou plus exactement une valeur de réorganisation. S'instruire c'est prendre conscience de la valeur de division des cellules du savoir. Et toujours la connaissance est prise dans le doublet du rationalisme appliqué : il faut toujours qu'un fait juge une méthode, il faut toujours qu'une méthode ait la sanction d'un fait. L'empirisme et le rationalisme ont alors un dialogue quotidien. »
Gaston Bachelard, Le rationalisme appliqué, PUF 1949.

Le chapitre d'où cet extrait est tiré porte le très beau titre de « La surveillance intellectuelle de soi. »

Vous savez ce qui manque terriblement sous Linux ? Un correcteur grammatical (non pas orthographique) dans le genre Antidote.

La Petite Lectrice
Aurélie Jobin, mai 2005
Céramique

Apnée de Jean-Marie Gourio fait partie de cette catégorie de livres dont je ne sais trop qu'en penser. En résumé, c'est l'histoire d'une femme, Chantal, dont la petite fille de 6 ans se fait violer et tuer par son voisin. Vingt-quatre ans plus tard, elle attend le meurtrier à la sortie de prison : « je ne veux pas me venger, je veux que cet homme me rende mon enfant, elle est à moi, il me l'a prise, il doit me la rendre... » Tout le livre est un voyage dans la tête de cette femme. Évidemment, on peut facilement condamner l'espèce de morbidité maladive de Chantal. Cependant, je crois que s'il m'arrivait de perdre une de mes enfants ou mon petit-fils, il me semble que j'aurais de la misère à m'en remettre « normalement ». Le livre décrit donc une possible survie à cette horreur.

Il vaut aussi la peine de lire ce petit livre de 154 pages pour le style extrêmement efficace de l'auteur : pas un seul point final dans ce livre, pas un seul paragraphe, tout est séparé par des virgules, et, parfois, Chantal se remémore ou récite des poèmes. C'est extrêmement efficace : on ne peut interrompre facilement la lecture pour vaquer à ses occupations quotidiennes. On doit presque le lire d'une traite. Prévoyez donc de vous installer dans une bulle de quelques heures, et prévenez les gens de ne point vous déranger.

À conseiller, même si je ne sais trop qu'en penser...

Ce n’est pas l’AQUOPS qui se meurt, c’est l’idée même des TIC dans les écoles.
Louis Desjardins, dans un commentaire de ce billet sur le blogue de l'AQUOPS.

Je fais à peu près le même constat que M. Desjardins. La situation est évidemment complexe, mais je suis persuadé qu'une cause importante d'une désaffection des enseignants est le paternalisme éhonté que les services informatiques exercent depuis des années sur les enseignants.

On a voulu garder les enseignants dans des espaces fermés, alors que les utilisateurs des TIC ne peuvent s'épanouir que dans l'ouverture au monde. Un exemple : on ferme les systèmes avec des Deep Freeze installés partout et sans discernement (même dans les salles de classes, même dans les salles de profs... même les postes des secrétaires ont DF... C'est faire insulte au professionnalisme des gens.) parce que «le monde savent pas utiliser les machines», qu'ils disent !

Au lieu de laisser les gens apprendre de leurs erreurs, on les a maintenu dans un état d'ignorance en les traitant d'imbéciles et d'incapables et en les faisant sentir cheap quand ils avaient le malheur de faire une fausse manoeuvre sur leur machine. Moi, je comprends très bien les enseignants qui ne veulent plus utiliser des ordinateurs dans des conditions de servitude et de dépendance envers les techniciens et les services informatiques. C'est un peu comme si c'était la secrétaire de l'école qui décidait de la manière qu'il faut que les enseignants enseignent le français. Il est urgent que les enseignants puissent expérimenter avec les TIC, qu'on les laisse jouer, se tromper, gaffer. Qu'on leur permette enfin de manipuler les ordinateurs comme bon leur semble. Si on commence maintenant à les laisser libres de faire ce qu'ils veulent avec les TIC, peut-être aura-t-on dans cinq ou six ans des enfants qui pourront développer une véritable compétence TIC dans un environnement scolaire.

Je crois qu'il faut impérativement que les services pédagogiques des CS mettent enfin leur culotte et imposent que les services informatiques deviennent ce qu'ils auraient toujours dû être : un service. Pas un service « on te dit quoi faire/pis si tu fais autrement/compte pas sur notre service », un service tout court!

En naviguant, deux petites découvertes :

D'abord cet excellent petit blogue auquel vous pouvez d'ailleurs participer : Un livre un objet. Vous vous rendrez compte qu'il y a autre chose à lire que les sempiternels Da Vinci Code et ses clones.

Cet autre site s'adresse aux débutants Vimeux (utilisateur de VIM). Ce qui me fait penser qu'un de ces jours, il faudrait bien que j'écrive un petit billet sur les éditeurs de texte par rapport aux traitements de texte.

« À Kœnigsberg, en Poméranie, il y a une île appelée Kneiphof; le fleuve qui l'entoure se divise en deux bras, sur lesquels sont jetés les sept ponts a, b, c, d, e, f, g. Cela posé, peut-on arranger son parcours de telle sorte que l'on passe sur chaque pont, et que l'on ne puisse y passer qu'une seule fois? Cela semble possible, disent les uns; impossible, disent les autres. »

C'est ainsi que commence un fameux Mémoire d'Euler : Solution problematis ad Geometriam situs pertinentis (1736). La solution d'Euler est d'une très grande beauté. Évidemment, dans son Mémoire, Euler généralise sa solution au problème. Je me contenterai ici d'utiliser sa méthode pour résoudre le problème précis des ponts de Kœnigsberg.

1. Euler commence d'abord par schématiser le problème.

2. Il indique qu'on pourrait le résoudre «en faisant l'énumération complète de tous les parcours possibles; on reconnaîtrait ainsi s'il existe ou non un chemin qui réponde à la question.» Euler, rejette cette manière, car il désire aussi une solution qui s'appliquerait à plusieurs situations du même genre. De plus, il signale «qu'après avoir terminé l'opération on aurait rencontré un grand nombre de choses qui ne sont pas en question; c'est en cela, sans aucun doute, que réside la cause d'une aussi grande difficulté.»

3. Euler indique par A, B, C, D les quatre régions séparées par les bras du fleuve : « [...] si on passe de la région A dans la région B, soit par le pont a, soit par le pont b, je désigne ce chemin par AB. Maintenant si le voyageur passe de la région B à la région D, par le pont f par exemple, je désigne la seconde traversée par BD, et l'ensemble des deux passages par ABD; ainsi, la lettre intermédiaire B désigne en même temps la région d'arrivée après la première traversée, et la région de départ pour la seconde.»

4. Euler tire de cette notation une première conclusion : si on passe un pont, le trajet aura deux lettres. Si on passe deux ponts, le trajet aura trois lettres, etc. Dans notre problème particulier, le trajet ainsi noté aura donc huit lettres, puisqu’'on désire passer une et une seule fois sur les sept ponts. (Euler généralise en disant que pour n ponts, on aura (n+1) lettres.

5. Euler observe ensuite que si 1 pont mène à une région, la lettre de cette région apparaîtra une seule fois dans le parcours. Si 3 ponts y mènent, la lettre apparaîtra 2 fois (soit qu'au début on parte de cette région ou d'une autre quelconque.) Si 5 ponts y mènent, la lettre apparaîtra 3 fois. Encore une fois, dans son Mémoire, Euler généralise en disant que si le nombre de ponts est 2n + 1 (un nombre impair), alors le nombre de lettres de la région est n + 1.

6. Dans le cas de Koenigsberg, en franchissant tous le ponts :
Région A, 5 ponts, la lettre doit apparaître 3 fois.
Région B, 3 ponts, la lettre doit apparaître 2 fois.
Région C, 3 ponts, la lettre doit apparaître 2 fois.
Région D, 3 ponts, la lettre doit apparaître 2 fois.

Donc, le parcours doit avoir un minimum de 9 lettres. Or, au point 4, nous avons démontré que la solution du problème exige un parcours de 8 lettres. Donc, la solution cherchée est impossible !!!

Mes constats :
L'énoncé du problème est très simple. À la volée, n'importe qui peut tenter de trouver une route remplissant les conditions. Après quelques essais, on se rend compte qu'y trouver une réponse, par contre, est un défi de taille.

Le problème en soi n'est pas très pratique et ne sert réellement à rien. C'est plutôt une question ludique.

La solution, quant à elle, est brillante. Euler fait d'abord un diagramme de la situation en y accolant quelques symboles. Puis, il formule le problème à partir de raisonnements sur ces symboles. Il constate alors que si la condition du problème est remplie alors elle implique une contradiction. Ce qui signifie que les conditions ne peuvent se réaliser! C'est ce qu'on appelle couramment une preuve par l'absurde : on suppose le problème résolu, et on constate une conséquence impossible !

Aussi, la technique pour le résoudre ressemble étrangement à la méthode du problème de mon billet La beauté I. Dans ce dernier, on ajoutait de la couleur aux cases et on raisonnait à partir de cette nouvelle dimension. Apposer de la couleur aux cases du damier est équivalent à nommer les régions A, B.. Colorer les dominos est un peu comme noter les ponts a, b, c... Dans les deux cas, les superpositions des réalités (dominos sur cases, ponts sur régions) amènent une impossibilité.

Comme mentionné au billet La beauté I, il est dans mes convictions profondes qu'il faut baigner l'élève dans ce type de problèmes et dans les solutions apportées. On guide alors l'élève vers des rapprochements heuristiques et méthodologiques.

«L'heuristique se distingue de la méthodologie en ce sens qu'elle est plus une réflexion sur l'activité intellectuelle du chercheur que sur les voies objectives de solution.» (Alain BIROU, 1966)

Dernière remarque : on s'entend généralement pour dire que ce Mémoire est un texte fondateur de ce qu'on connaît aujourd'hui comme la théorie des graphes.

Lectures suggérées

É. Lucas, Récréations mathématiques T.1, Albert Blanchard, 1977
Biggs, Lloyd et Wilson, Graph Theory 1736-1936, Clarendon Press, 1977.
Article Euler, sur Wikipédia.

Imaginez une machine vous permettant de remonter le temps. Cette machine ne peut vous donner qu'une heure, une toute petite heure dans le passé. À quel personnage célèbre rendriez-vous visite ? Quelles questions lui poseriez-vous?

Pour ma part, la réponse est immédiate. Je dirige la machine vers Toulouse, en l'an 1660. Dans un petit bureau du Parlement municipal, un homme de 52 ans s'amuse à faire des mathématiques. Je lui demanderais alors : « Montrez-moi, M. Pierre de Fermat, cette belle preuve que la marge de votre Arithmétique de Diophante ne peut contenir. Vous savez ? cette démonstration de l'impossibilité de décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissante quelconque en deux puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance... Cette preuve est, dites-vous, admirable. J'aimerais tant que vous me la partagiez ! »

XLogo est écrit en JAVA. Comme je voulais l'essayer, je me suis amusé à installer JAVA JDK 5.0 en m'aidant de cette page web.

Voici mes deux premières procédures et l'illustration du résultat.

pour carre
repete 4[avance 100 tournedroite 90]
fin

pour plusieurscarres
repete 360[carre tournedroite 1]
fin
J'aimerais bien, au cours de l'année scolaire qui vient, amener les enseignants à utiliser tout le potentiel pédagogique du LOGO. Aujourd'hui, on parle du language LOGO comme faisant partie de l'histoire. Mais je n'ai vraiment jamais rencontré un enseignant dont les élèves l'avaient utilisé à fond pour développer des concepts mathématiques.

Thirty-nine places of PI suffice for computing the circumference of a circle girdling the known universe with an error no greater than the radius of a hydrogen atom!
Clifford Pickover, Keys to Infinity, p.62, Wiley, 1995