Jobineries

Un renard a 72 sauts d'avance sur un lévrier qui le poursuit ; il fait 9 sauts pendant que le lévrier en fait 5 ; mais 3 sauts du lévrier en valent 7 du renard. Au bout de combien de sauts le renard sera-t-il rejoint ?

Réf : J. Vinot, Récréations mathématiques, Ed. Larousse et Boyer, 1860

Une personne a un nombre pair de jetons dans une main et un nombre impair dans l'autre. Vous pouvez deviner dans quelle main est le nombre pair en procédant ainsi :

1. Faites multiplier le nombre de la main droite par un nombre pair au hasard, et le nombre de la main gauche par un nombre impair quelconque ;
2. Faites ajouter les résultats, et demandez le chiffre des unités de la somme;
3. S'il est impair, le nombre pair est dans la main droite et l'impair dans la gauche; s'il est pair, impair est à droite et pair à gauche.

Exemples.

1° Il y a 4 jetons à droite et 7 à gauche. On multiplie 4 par 2, ce qui fait 8 ; 7 par 5, 35, et 8, 43, nombre qu'on vous dit. Il est impair, c'est le premier cas ; pair à droite, impair à gauche.

2° Il y a 5 jetons à droite et 2 à gauche. On multiplie 5 par 4, ce qui donne 20; 2 par 3, 6, et 20, 26. Le résultat est pair, c'est le deuxième cas ; impair à droite, pair à gauche.

À vous de justifier cette procédure ou encore, si vous êtes enseignant, de demander à vos élèves d'expliquer pourquoi cela fonctionne.

Réf : J. Vinot, Récréations mathématiques, Ed. Larousse et Boyer, 1860

Le problème est ici.

Résolu à l'aide de Mathematica où i = nombre d'infirmiers; m = nombre de médecins; hm = hommes médecins, fm = femmes médecins; hi = infirmiers ; fi = infirmières.

In[1]:= FindInstance[
i + m == 16 && i > m && i > 0 && m > 0 && hm > hi && hi > fi &&
fm > 0 && i == fi + hi && m == fm + hm, {i, m, fm, fi, hm,
hi}, Integers, 3]

Out[1]= {{i -> 9, m -> 7, fm -> 1, fi -> 4, hm -> 6, hi -> 5}}

In[2]:= FindInstance[
i + m == 15 && i > m && i > 0 && m > 0 && hm > hi && hi > fi &&
fm > 0 && i == fi + hi && m == fm + hm, {i, m, fm, fi, hm,
hi}, Integers, 3]

Out[2]= {{i -> 8, m -> 7, fm -> 1, fi -> 3, hm -> 6, hi -> 5}}

Dans le cas où la personne est incluse (In[1]) la solution est unique. Unique aussi dans le cas où la personne est exclue. On voit bien qu'il y a une infirmière de moins dans le deuxième cas.

Questions aux lecteurs

Scolairement parlant, cette solution est-elle correcte ? Dans une copie d'élève, sur 10 points, vous donnez combien ? N'est-il pas essentiel qu'un élève sache non seulement poser des équations (et des inéquations) mais, de plus, sache les résoudre à l'aide de techniques manuelles solides ? Jugez-vous que la « méthode » utilisée ci-dessus démontre la compétence d'un élève à résoudre un problème ?

Imaginons nos élèves du secondaire avec un outil comme Mathematica en permanence entre leurs mains. Comment cela modifierait-il le curriculum ? Devrait-on modifier les compétences mathématiques ou les savoirs essentiels qui leur sont liés ? Et que deviendraient les fameuses situations de fin de cycle du ministère de l'Éducation ? Et que faire des manuels des élèves dans lesquels plus de la moitié des exercices suggérés sont directement solubles par Mathematica ?

Quand on considère l'utilisation de logiciels du genre Mathematica, l'enseignement traditionnel des mathématiques ne serait-il pas complètement obsolète ?

En m'incluant, le personnel d'un hôpital consiste en 16 médecins et infirmiers, tout sexe confondu.
Les faits suivants restent vrais que j'y sois ou non inclus :

1 - Tout sexe confondu, il y a plus d'infirmiers que de médecins.
2 - Il y a plus d'hommes médecins que d'hommes infirmiers.
3 - Il y a plus d'infirmiers que d'infirmières.
4 - Il y a au moins une femme médecin.

Question : Quels sont mon sexe et ma profession?
George J. Summers, Test your logic : 50 puzzles in deductive reasoning, traduction libre de G. Jobin, Dover, 1972

Énigme composée par Claude-Carloman de RULHIÈRE (1735-1791), historien de la Russie et de la Pologne.

Devine-moi, lecteur, je suis dans l'univers,
Sans paraître en Europe, en Asie, en Afrique,
Encore moins en Amérique;
Si tu veux refuser, doublement je te sers
Et doublement encore lorsque quelqu'un te donne;
Sans être en Portugal, je me trouve à Lisbonne,
Toujours dans les prisons et jamais dans les fers;
J'occupe le milieu du monde,
Mais par un contraste nouveau,
Je nage dans le sein de l'onde
Et je fuis toujours l'eau.

Dans un problème d'échecs, il faut toujours imaginer Dieu affrontant Dieu. Autrement dit, on assume que les joueurs jouent parfaitement bien.

Cela posé, voyez la position ci-contre.

Les Blancs sont au trait. Il ne fait pas de doute qu'ils gagneront facilement la partie. La question est cependant de savoir le nombre minimum de coups nécessaires pour mater l'adversaire. Évidemment, je m'attends aussi à ce que vous me donniez la séquence de jeu.

Ça, c'est le premier problème.

Le second est pour vous exercer à chercher sur le web. Qui a inventé ce problème ?

Voici une jolie énigme que m'a fait parvenir un collègue :

Martin quitte Ottawa en roulant à vitesse constante. Après un certain temps, il croise une borne portant deux chiffres (XY). Une heure plus tard, il croise une borne portant les deux mêmes chiffres, mais inversés (YX). Une heure plus tard, il croise une troisième borne portant les deux chiffres de départ séparés par un zéro (X0Y). À quelle vitesse Martin roule-t-il?

Depuis plusieurs années, j'achète la revue française Planète Linux. Je la trouve agréable et les articles sont généralement à mon niveau. Le dernier numéro m'a cependant surpris : je commence toujours la «lecture» d'une revue par la fin. Or, en dernière page, que vois-je ? 4 grilles de Sudoku : les degrés de difficultés vont de facile à expert en passant par normal et difficile. Je me suis évidemment interrogé sur les raisons d'une telle page dans une revue consacrée à Linux : il y a tant à dire sur mon système d'exploitation préféré qu'il eut mieux valu investir cet espace dans un article le concernant directement.
Toujours est-il qu'un premier survol de la revue effectué, je suis retourné à cette page « Jeu », j'ai regardé la grille EXPERT, et je me suis mis à la tâche.
Cette grille m'a demandé 40 minutes à résoudre, ce qui n'est certainement pas de la haute performance. Je ne résoudrai pas les autres grilles, les raisonnements sudokistes étant toujours les mêmes, on n'y trouve finalement que peu de défis intéressants.

Liane
Pour laisser l'ordinateur résoudre les grilles à votre place.

T. R. Dawson
Bolton Football Field, 1911

Les Blancs jouent et matent en 21 coups.
Dawson (1889-1951), compositeur échiquéen Anglais, a composé plus de 4000 problèmes bizarres (et très bizarres). Il s'est intéressé à la portion appelée « échecs féériques » du plus noble des jeux. On retrouve l'ensemble de son oeuvre chez Dover : Five classics of fairy chess, 1973.

Le problème du Révolver est maintenant un classique. Saurez-vous le résoudre?

Cette autre question fut aussi posée par Dawson : De combien de manières différentes pouvez-vous placer (légalement) un Roi blanc, un Fou blanc et un Roi noir sur l'échiquier de 64 cases avec
1) Les Blancs au trait ?
2) Les Noirs au trait ?

Mon premier contact avec cette énigme archiconnue vient d'un vieux recueil du Reader's Digest intitulé Teasers & tests (1968). On trouve sa traduction dans le célèbre livre 50 énigmes du prof Jissé de Jean-Claude Paquet (La Presse, 1975). C'est d'ailleurs ce problème qu'on trouve en quatrième de couverture du livre, avec une illustration du zèbre signée de l'auteur mais largement inspirée du dessin trouvé dans le Larouse du XX^e siècle (1933).

Voici l'énigme :

À l'aide des indices ci-dessous, trouvez qui boit de l'eau et à qui appartient le zèbre.

1. Cinq maisons de couleurs différentes sont habitées par des hommes de nationalités et de professions différentes, chacun ayant son animal favori et sa boisson préférée.
2. L'Anglais habite la maison rouge.
3. Le chien appartient à l'Espagnol.
4. On boit du café dans la maison verte.
5. L'Ukrainien boit du thé.
6. La maison verte est située immédiatement à droite de la blanche.
7. Le sculpteur élève des escargots.
8. Le diplomate habite la maison jaune.
9. On boit du lait dans la maison du milieu.
10. Le Norvégien habite la première maison à gauche.
11. Le médecin habite la maison voisine de celle où demeure le propriétaire du renard.
12. La maison du diplomate est voisine de celle où il y a un cheval.
13. Le violoniste boit du jus d'orange.
14. Le Japonais est acrobate.
15. Le Norvégien demeure à côté de la maison bleue.

Ce genre d'énigme porte le nom d'intégramme. Voir cet autre exemple. Vous trouverez ici un utilitaire de Pascal Fonteneau qui vous assistera dans la recherche de la solution.

La tradition attribue à Newton ce curieux problème, dont la solution n'exige aucun calcul différentiel.

Soixante-quinze boeufs ont besoin de douze jours pour brouter l'herbe d'un pré de 60 ares, tandis que quatre-vingt-un boeufs ont besoin de quinze jours pour brouter l'herbe d'un pré de 72 ares. Combien faut-il de boeufs pour brouter en dix-huit jours un pré de 96 ares?

(On suppose que l'herbe croît uniformément et qu'elle est dans les trois prés, à la même hauteur au début du problème.)

Source : P. Berloquin, Le jardin du Sphinx, Dunob, 1981.

Dans une classe de 35 élèves, les filles ont eu une moyenne de 12 à la dernière composition et les garçons une moyenne de 9,5. La moyenne générale était de 10,5. De combien le nombre de garçons excède-t-il alors le nombre de filles dans cette classe ?

Réf : Jeux & Stratégie, n°3, juin-juillet 1980.