Jobineries

Blogue de Gilles G. Jobin, Gatineau, Québec.

samedi 16 avril 2005

Les entiers et la didactique

Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'oeuvre de l'homme.
Leopold Kronecker


[...] the positive integers should not be identified with the signless natural numbers.
W. L. Schaaf, Basic Concepts of Elementary Mathematics, Wiley, 1960


Ce n'est plus un secret pour les lecteurs de ce blogue : les nombres entiers me fascinent. J'aimerais illustrer, dans ce court billet, la puissance didactique des entiers. C'est à dire, comment ces nombres éveillent certaines difficultés inhérentes à l'enseignement des mathématiques. Cela pourrait être le canevas d'une formation donnée aux enseignants.

1. Une définition

Aux élèves, les enseignants émettent souvent que la création des entiers provient du fait qu'on ne peut soustraire un plus grand nombre d'un plus petit. Par exemple, 5 - 3 existe chez les naturels, mais 3 - 5 y est impossible.
Profitons de ce constat pour inventer une nouvelle notation :
(a,b) serait l'entier défini par l'expression a - b.
On dira que cet entier est positif si a est plus grand que b et est négatif si b < a. Si a =b, l'entier sera appelé 0.
Par exemple, (5,1) est l'entier défini par 5 - 4 soit +1.
Et (1,5) est l'entier défini par 4 - 5 soit -1.

- Ridicule!, me lancera-t-on. Pourquoi se compliquer la vie avec cette nouvelle notation ??? Les négatifs, ce sont -1, -2, -3... et les positifs sont +1, +2... Et puis, deux nombres pour décrire un entier, c'est stupide non?
- Pas tout à fait, répondrais-je. On ne s'étonne pas d'une notation de type 3/4, 5/9 pour décrire les rationnels : deux nombres naturels séparés par une barre oblique. Cette notation est basée sur l'opération division. Pourquoi s'étonnerait-on de décrire un entier comme je viens de le faire? Par ailleurs, un avantage évident de cette symbolique est d'éviter la confusion entre le symbole + des entiers positifs et l'addition et le symbole - des entiers négatifs et la soustraction.

Voilà un premier choc didactique : les enfants qui voient pour la première fois la notation des fractions doivent certainement angoisser. Il faut en tenir compte!

2. L'égalité

Regardez ces trois entiers : (5,10), (12,17), (101,106). Tous trois représentent le même nombre entier (soit -5 dans la notation classique).

-Vous voyez bien que tout cela est ridicule, me lancera-t-on. -5, C'EST -5. Les élèves vont être perdus avec votre affaire !
-Ah oui ? répondrais-je. Pourtant, 2/4, 100/200, 27/54 représentent bien le même rationnel, soit 1/2. Pourquoi ne pas vous étonner de ce fait notationnel chez les fractions et s'en étonner chez les entiers?

C'est là un deuxième choc didactique.

3. Les opérations

À partir de cette définition des entiers, comment peut-on donner un sens à l'addition? N'oubliez pas que, symboliquement parlant, chez les fractions, l'addition se définit par : a/b + c/d = (ad+cb)/db. Qu'en est-il de la soustraction? De la multiplication? De la division? Faire le parallèle au niveau des difficultés avec les rationnels.

4. La relation d'ordre.

On tient encore très souvent pour acquis la relation d'ordre chez les entiers : on les met tous sur une droite numérique et on signale aux l'élève que si l'entier est à droite d'un autre, alors il est plus grand que cet autre. Mais à partir de notre notation, comment définir la relation d'ordre? Cette difficulté est aussi très présente chez les nombres rationnels. Comment, par exemple, établir la relation d'ordre entre 107/43 et 110/47 ?

Salle d'attente

«Ce genre de livre [le manuel scolaire -GGJ] n’a guère d’intérêt que durant les premières semaines, le temps que s’éteigne le feu d’un nouveau bouquin. Après cela, ça n’a guère plus de piquant qu’un vieux magazine dans une salle d’attente de dentiste.»
François Guité dans un commentaire sur son blogue.

jeudi 14 avril 2005

La commutativité de la multiplication chez les naturels

Ce billet de François m'a trotté dans la tête toute la journée. L'illustration géométrique et très connue de 3x4 = 4x3 me chicotait l'esprit.

Regardez bien : (ici le symbole «x» représente le mot «fois» et non «multiplié par»)

97 x 93 signifie :
93 + 93 +   ...   + 93 
^                    ^
|_______97 fois______|

et 93 x 97 signifie :

97 + 97 +   ...   + 97 
^                    ^
|_______93 fois______|

Regardez encore une fois ce que signifient ces deux expressions. Ne trouvez-vous pas étonnant que cela donne le même résultat? Bien sûr, sans effectuer aucun calcul, vous savez que le résultat est le même, mais il reste que cela semble relever du pur hasard ou encore d'un effet magique des nombres. Je signale cet exemple pour vous faire sentir le côté fantastique (fantasque?) des nombres, pour qu'à quelque part, vous soyez émerveillés par la commutativité. Or, à mon avis, lorsqu'un enfant peut expliquer pourquoi ça marche, pourquoi les deux produits doivent être identiques, alors, et seulement alors, est-on convaincu que le concept de la commutativité de la multiplication chez les naturels est acquis, et est acquis pour toujours. Le rôle de l'enseignant est de s'assurer que l'élève construit sa propre représentation de cette commutativité.

Panoram@th/Panoraplate

J'ai reçu aujourd'hui un exemplaire gratuit de Panoram@th, manuel de mathématique pour la première secondaire de Cadieux, Gendron et Ledoux publié chez CEC.
Comme j'ai une prédilection particulière pour les nombres entiers, j'ai immédiatement sauté aux pages dédiées à ce savoir.
L'introduction est une situation-problème (?!?) où on nous dévoile les opinions que les peuples ou certains penseurs avaient des nombres négatifs.
Ce qui me choque est l'affirmation que « ce n'est pas un hasard si l'on qualifie les nombres entiers positifs de nombres naturels ». C'est là une grave erreur qui risque de mêler grandement les élèves. Pour moi, 2 (naturel) n'est pas +2 (entier). Dans le 2 naturel, l'enfant doit y voir cette idée qui entoure tous les ensembles de 2 éléments. Par exemple, 2 fenêtres, 2 dollars, 2 briques, etc. C'est ainsi qu'on développe l'idée du nombre naturel. Alors que +2 représente une tout autre idée. Dans +2, on groupe tous les ensembles dont on sait qu'il peut y avoir un opposé (ici, -2). Par exemple, +2 pour deux pas à droite, (-2 représentant 2 pas à gauche), +2 pour monter de deux marches, -2 descendre de deux marches, etc. Donc +2 est conceptuellement très différent de 2. Par exemple dans 2 fenêtres, il ne viendrait pas à l'idée d'écrire que nous avons +2 fenêtres. Cela serait tout simplement incohérent car l'idée de -2 fenêtre(s) n'existe pas. Cela dit, plus tard dans le cheminement de l'enfant, lorsqu'on abordera l'idée de sous-ensemble, on peut à ce moment-là faire découvrir que le sous-ensemble de Z composé des nombres positifs possède les mêmes propriétés que l'ensemble des naturels. Ce sont les propriétés opérationnelles (associativité, commutativité, etc.) qui sont semblables, non pas les nombres ! En résolution de problème, ce discernement est très important, car l'élève doit déterminer le contexte dans lequel se déroule le probleme et, par là, justifier l'ensemble des nombres à employer pour le résoudre.

Trois pages plus loin, dans la section Calepin des savoirs, on définit les entiers positifs comme des naturels affublés d'un signe plus ! Et dans l'encart supérieur, sans rien justifier, on mentionne qu'on n'est pas obligé de mettre le plus. Les auteurs n'hésitent pas une seconde, quelques lignes plus bas, à nous envoyer une belle droite numérique où tout est en ordre. (Dans un billet futur qui est actuellement en cours de rédaction - un dialogue entre un prof et un élève - , je démontrerai l'incohérence de cette approche.) Pédagogiquement parlant, je suis tout à fait contre le fait d'enlever ce signe positif quand on est élève débutant avec la manipulation des entiers. Il faut au contraire toujours le garder pour bien signifier que l'univers dans lequel on travaille est celui des nombres entiers et non celui des naturels.
Un peu plus loin, page 133, on mentionne comment soustraire des entiers. Là, je suis tout à fait heureux, car les auteurs illustrent bien que soustraire c'est réellement enlever des éléments à un ensemble. Mais les illustrations se contentent de montrer des soustractions naturellement possibles du genre :
+5 - +2 = +3
-5 - -2 = -3
C'est sur l'autre page que tout ce gâche, car les auteurs ne semblent pas avoir réfléchi aux cas très réels du genre :
-2 - -5 ou +2 - +5.
On nous envoie alors la belle règle sortie d'on ne sait trop où qui stipule que soustraire, c'est additionner l'opposé.

Une chose est certaine, jamais je ne conseillerai d'acheter ce livre. Il contient tout ce que j'exècre en matière de manuel de maths. Notez que ce n'est pas particulier à ce livre : presque tous les manuels que j'ai consultés sont un galimatias d'inepties et de laxisme intellectuel au regard des nombres entiers.

mercredi 13 avril 2005

L'ombre du vent

Je viens de terminer L'Ombre du vent de Carlos Ruiz Zafón, publié chez Grasset en 2004. C'est une traduction de l'espagnol par François Maspero. L'auteur a remporté le prix Planeta 2004 et prix du meilleur livre étranger 2004. C'est en fait la réflexion suivante qui m'a poussé vers le bouquin :

«J'avais besoin d'un livre comme celui là.
Un livre où l'on me parlerait d'autres livres.
Où l'on m'inventerait un cimetière de livres oubliés.
Un livre rempli de lumière.
Pour éclairer mes froides journées d'hiver.»
Le monde d'Allie

Un cimetière de livres oubliés... drôlement attirant...
En fait, ce cimetière n'est quasi pas visité, et j'avoue que toutes mes attentes tournaient autour de ce lieu étrange. À la dernière page, j'ai associé mon sentiment de lecteur au cosinus (de 0 à 2pi) : 150 première pages assez intéressantes, un creux pour les 200 suivantes, et reprise très marquée de mon intérêt pour les 150 dernières. Évidemment, les jolies phrases du livre se retrouveront sur Au fil de mes lectures en fin de semaine. Un petit avant-goût :

Elle s'éloigna dans l'obscurité [...] traînant son ombre comme un voile nuptial. (p. 277)

[...] garde tes rêves [...]. Tu ne peux jamais savoir à quel moment tu en auras besoin. (p.308)

- De quoi souffre-t-il?
- Je pourrais vous dire que c'est du coeur, mais il meurt de solitude. Les souvenirs sont pires que des balles.
(p. 461)
Un livre peut changer une vie. Si ce thème vous intéresse le moindrement, le livre de Zafón est pour vous. Mais attendez qu'il sorte en poche ou alors, achetez-le chez le bouquiniste.

Pour aller plus loin :
Critiques sur Le club des rats de biblio-net
Les lauréats du Prix Planeta
Le résumé du livre chez Pantoute.

mardi 12 avril 2005

Famille blogueuse !

Depuis hier soir, on peut dire que toute ma petite famille a son blogue. Un petit résumé s'impose : D'abord ma Marie, avec son Portfolio-Multi. Malheureusement, elle est plutôt silencieuse depuis quelques mois. Son nouveau poste d'enseignante d'anglais prend tout son temps.
Puis, mes trois filles. Aurélie, ma Cégépienne adorée qui aura 18 ans bientôt. Marie-Élaine, qui m'impressionne par sa grande maturité à sa première année d'enseignement en siences, et mon ainée qui est la toute dernière a avoir son blogue, Andréanne, traductrice (elle parle quatre langues...). Andréanne a un merveilleux fils, Estéban, plus jeune blogueur de l'Outaouais. Du côté de Marie-Élaine, c'est son conjoint qui est célèbre blogueur.
Il ne faut pas oublier mon neveu François qui terminera l'an prochain son bac à l'UQO et sa mère (ma soeur) Hélène.

Constat : Il est plus facile de convaincre sa famille de bloguer que de convaincre ses collègues de travail.

lundi 11 avril 2005

Gerson écrivant


«Gerson écrivant»
Imitation de J.-C.
Manuscrit français XVes.

dimanche 10 avril 2005

Javascript

Très impressionnants, ces exemples Javascript. Il faut que je prenne le temps d'étudier tout ça !

samedi 9 avril 2005

Écrire

Le talent n'est qu'une aptitude qui se développe. On peut en acquérir deux ou trois fois plus qu'on en a. « J'apprends tous les jours à écrire », disait Buffon, qui ajoutait, d'ailleurs, ce mot si vrai : « Le génie n'est qu'une longue patience. »

Qui a travaillé plus sa forme que Boileau ? Et il n'était pas le seul à faire difficilement des vers faciles. La Fontaine n'a atteint le naturel qu'en refaisant près de dix fois la même fable. Taine, qui a feuilleté ses manuscrits à la Bibliothèque nationale, était épouvanté de les voir noircis de ratures. Voiture, Guez de Balzac et d'autres auteurs n'ont survécu que par leur profonde conscience de stylistes et leur continuelle soif de perfection. La Bruyère n'a publié qu'un livre qui est parfait. Pascal est le dernier mot de la netteté condensée, qu'on ne réalise que par le labeur. Montesquieu se raturait sans cesse. Chateaubriand nous apprend qu'il a refait jusqu'à dix fois la même page. Buffon recopia dix-huit fois ses Époques de la nature. Flaubert, on le sait, s'est tué à la peine. Pascal nous dit qu'il a refait jusqu'à quinze fois certaines Provinciales.

Si tous nos classiques avaient raconté leus procédés de composition, on verrait que Flaubert n'a pas été le seul à lutter contre les tortures de la phrase. Le style de la plupart des grands prosateurs sent le travail. Le travail est visible dans Boileau, Montesquieu, Buffon. Non seulement, je crois qu'il ne faut pas leur en faire un reproche, mais j'oserais dire que cette constante application, qui se manifeste à toutes leurs pages, ajoute un charme de plus à leur lecture, de même que la science d'orchestration augmente, pour les connaisseurs, l'attrait d'une audition musicale. Il n'y a guère que La Fontaine qui échappe à cette loi et chez qui le travail ne se sente pas. Or, c'est précisément celui qui a le plus travaillé !

Le principe de l'effort au travail, du continuel raturage est donc indiscutable. Il faut l'adopter a priori, aveuglément.

Antoine Albalat, L'art d'écrire, Armand Collin, p. 175

mercredi 6 avril 2005

Bel exemple de logique

« Voici donc une bonne occasion, pour les fumeurs, de lutter concrètement contre l'hypocrisie ambiante qui veut qu'on soit considéré comme un pestiféré quand on fume mais que personne ne s'inquiète de la fumée émise par les véhicules sport-utilitaires ni par les alertes au smog dans presque toutes les grandes villes du monde. »
Via Miss Information, dans l'article Je fume, je vais continuer et j'ai des droits!
Le sophisme de la double faute consiste à tenter de justifier un comportement en soulignant que d’autres font la même chose, voire pire encore.

Paul Erdös

« Je sais que les nombres sont beaux. S'ils ne le sont pas, rien ne l'est. » Surnommé l'homme qui n'aimait que les nombres, Paul Erdös, disparu en 1996 à 83 ans, était hongrois, surdoué et quelque peu excentrique. Il a parcouru le monde, d'université en centre de recherche, stimulant partout où il passait la créativité mathématique. Cosignataire de plus de 1 500 articles sur les sujets mathématiques les plus divers, il faisait mine de dormir aux conférences les plus sérieuses. En lien avec la période historique tourmentée qu'il avait traversée, et qui n'avait pas épargné sa vie personnelle, il manifestait par des aphorismes un pessimisme universel, auquel seul l'univers du nombre, « le seul vraiment éternel », échappait. Il vouait une passion quasi mystique aux preuves « élémentaires », les plus élégantes et les plus courtes, qui selon lui constitueraient le Livre où Dieu aurait consigné les preuves parfaites des théorèmes mathématiques.
Anita Castiel, Interstices

lundi 4 avril 2005

Se renseigner autrement...

Internet et le web révolutionnent la culture de l'information. Une petite recherche dans Google permet de trouver des blogues américains qui dévoilent les propos de J. Brault à la commission Gomery.
Mon site est hébergé à Toulouse, en France. Question : en admettant que j'assiste à cette commission, serais-je dans l'illégalité si je dévoilais l'essence du témoignage de M. Brault, sachant qu'un interdit de publication est émis par le juge Gomery ? L'interdit s'applique-t-il partout sur la planète ? Si oui, comment peut-on contrôler la chose sur un serveur chinois, indonésien, américain ou français ? Si non, pourquoi alors émettre un interdit de publication ?

Décidément, j'adore le web...

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