Jobineries

Blogue de Gilles G. Jobin, Gatineau, Québec.

lundi 24 février 2014

Sur l'algèbre

lundi 30 septembre 2013

La géométrie

Les maths modernes ont fait leur apparition à la fin des années soixante. La grande erreur fut de laisser tomber complètement la bonne vieille géométrie euclidienne (théorèmes, preuves, corollaires, lemmes, etc.)

C'était le meilleur endroit pour illustrer toute la beauté, la grandeur et la pureté des mathématiques. Tout cela est vraiment perdu aujourd'hui, et quand je vois les fameuses situations d'apprentissage par compétences (sic, sic et resic), je me demande comment les élèves peuvent arriver à déceler une quelconque harmonie dans les mathématiques.

Mais voyez la vidéo ci-dessous. Si vous y comprenez moindrement quelque chose en anglais, il est, à mon sens, à peu près impossible de ne pas voir dans la résolution de ce problème une très grande beauté. Et si on ne la voit pas, le rôle du prof est de dénouer le cerveau de son apprenant pour lui faire entrevoir cette beauté.

À peu près tous les problèmes de lieux géométriques ont un potentiel jouissif.



lundi 22 avril 2013

Encore les entiers

Les nombres entiers, pédagogiquement et didactiquement, me fascinent.

Mon approche (bille blanche et bille noire = neutre) est, je crois, la meilleure qu'on puisse prendre pour amener les enfants à comprendre cet ensemble de nombres.

Il existe au moins une autre approche très intéressante. Cette dernière n'est absolument pas pertinente pour introduire la notion aux enfants. Mais si j'avais à donner un cours en didactique mathématique à de futurs enseignants du primaire et du secondaire, il est certain que j'examinerais avec eux cette « vision » des entiers. Elle représente, à mon avis, toute la beauté et la force d'une notation symbolique efficace et rigoureuse. On peut aussi revisiter des notions intéressantes telles que les opérations élémentaires, les preuves mathématiques, les propriétés des opérations, le concept de nombre, etc.

Définition

Un nombre entier se définit à l'aide d'un couple de nombres naturels. On symbolisera ce couple ainsi :

a~b qu'on prononce « a tilde b » et qui signifie : le nombre qu'il faut ajouter à «b» pour obtenir «a».

Prendre le temps de bien comprendre une définition est nécessaire. Voici deux exemples :

5~2 est le nombre qu'il faut ajouter à 2 pour obtenir 5. Tout le monde comprend ici qu'il s'agit, dans l'écriture traditionnele des entiers, du nombre +3.

2~5 est le nombre qu'il faut ajouter à 5 pour obtenir 2. Encore une fois, dans l'écriture traditionnelle des entiers, on comprend que c'est -3.

Remarquons que 5 tilde 2 peut quasiment être assimilé à 5 moins 2. J'ai choisi ~ (tilde) car il ressemble un peu au - (opération moins ou soutraction). Pourquoi alors n'avoir pas tout simplement choisi le symbole moins au lieu du symbole tilde? Voilà une question très importante et qu'il faut absolument adressée avec de futurs enseignants. C'est pour ne pas créer de la confusion les élèves. Le MOINS représente l'opération SOUSTRACTION. Le a~b représente l'IDÉE D'UN NOMBRE.

Pour bien saisir la nuance, voyez par exemple 3/4. Ici, tout le monde comprend qu'il s'agit de la FRACTION trois quart. Et non pas de 3 «divisé par» 4.

D'ailleurs, chose intéressante, on pourra aussi répondre à ceux qui nous accuseraient de nous enfarger dans les fleurs du tapis en définissant bizarrement un nouveau nombre à partir d'un couple. À quoi je répondrai que les fractions sont un bel exemple de nouveaux nombres qui s'écrivent symboliquement à partir de deux nombres naturels. Ce concept fait partie des idées puissantes en mathématiques.

Convention

a) Si, dans l'expression a~b, b<a alors on dira que a~b est un entier positif.
b) Si, dans l'expression a~b, a<b alors on dira que a~b est un entier négatif.
c) Si, dans l'expression a~b, b=a alors on dira que a~b est un entier neutre.

Cette convention se veut tout simplement cohérente avec notre intuition.

6~2 est le nombre qu'on doit ajouter à 2 pour obtenir 6. C'est donc 4 (ou positif 4 ou +4) ;
2~6 est le nombre qu'on doit ajouter à 6 pour obtenir 2. Intuitivement, on comprend que c'est un manque ; ce qui traditionnellement se traduit par négatif 4 ou -4 ;
2~2 est intuitivement 0, soit le neutre car on ne doit rien ajouter à 2 pour obtenir 2.

L'égalité chez les entiers

Comment déterminer si deux entiers sont égaux ?

Par exemple : 7~4 est-il égal à 11~8? Intuitivement, on comprend que c'est bien le cas car le nombre qu'il faut ajouter à 4 pour obtenir 7 est bien égal au nombre qu'il faut ajouter à 8 pour obtenir 11.

On peut alors découvrir une règle pour vérifier l'égalité ou non de deux entiers.

Règle d'égalité

a~b = c~d si et seulement si a+d = b+c.
(Autre belle occasion d'apprentissage : que signifie « si et seulement si » ?)

Quelques exemples permettent de voir le bien-fondé de cette règle :

7~11 = 2~6 (Graphie traditionnelle : -4)
Ici 7+6 = 11+2.

On peut faire le rapprochement avec ce que nous connaissons déjà au regard des fractions qui possèdent aussi une semblable règle d'équivalence :
a/b = c/d si et seulement si ad = bc.


Pour ceux qui connaissent ma définition des entiers, on peut décrire le couple a~b ainsi : Un ensemble contenant a billes blanches et b billes noires. (Dans ma définition - voir par exemple ici -  rappelez-vous qu'une bille blanche neutralise une bille noire.) Ce qui est intéressant avec l'idée du couple, c'est que tout nombre entier est équivalent à une quantité de billes blanches ET une quantité de billes noires. Par exemple, un ensemble de 4 billes blanches et 8 billes noires est ENTIÈREMENT équivalent à un ensemble auquel on aurait ajouté une égale quantité de billes blanches et noires car cette dernière opération revient à ajouter le neutre (zéro).

L'opération addition

Tentons maintenant de définir l'addition à l'aide de notre notation.

a~b + c~d = ???

Rappelons-nous que

a~b est ce qu'il faut ajouter à b pour obtenir a
et
c~d est ce qu'il faut ajouter à d pour obtenir c.

Donc a~b + c~d doit représenter la somme de deux ajouts. En y pensant un peu, on peut voir que cette somme est ce qu'il faut ajouter à b+d pour obtenir a+c.

Dans mon explication billes blanches billes noires, cela correspond à mettre les blanches «ensemble» et mettre les noirs «ensemble».

Quelques exemples vous convaincrons de la pertinence de cette définition.

Ex. 1 : 12~5 + 4~1 = (12+4)~(5+1) = 16~6
(Trad : +7 + +3 = +10 = ce qu'il faut donner à 6 pour obtenir 16.)

Ex. 2 : 4~3 + 2~5 = (4+2)~(3+5) = 6~8
(Trad : 1 + -3 = -2 = Ce qu'il faut donner à 8 pour obtenir 6.)

L'opération soustraction

Pour définir la soustraction, nous n'utiliserons que des concepts déjà connus. Mais attachez vos tuques, vous allez tripper fort!

Par définition, soustraire c~d de a~b consiste à trouver (s'il existe) un nombre m~n tel que :

a~b = c~d + m~n.

(Relisez plusieurs fois les deux dernières lignes pour être bien convaincu.)

Comme on connaît déjà la définition de l'addition, on a :

a~b = (c+m)~(d+n)

En retournant à la définition d'égalité chez les entiers, on a donc :

a+d+n = b+c+m.

Cette dernière équation est vraie si

m=a+d et n=b+c

En substituant le tout dans l'équation de départ, on a :

a~b = c~d + (a+d)~(b+c)

ou

a~b - c~d = (a+d)~(b+c)

Cette dernière équation nous permet de constater que la soustraction est toujours possible chez les entiers puisque a+d et b+c existent en tout temps chez les nombres naturels ! Ce constat montre encore toute la beauté de la définition des entiers à l'aide d'une paire de nombres naturels.

Voyons quelques exemples :

Ex. 1 : 12~5 - 4~1 = (12+1)~(5+4) = 13~9
(Traduction : +7 - +3 = +4 = ce qu'il faut donner à 9 pour obtenir 13.)

Ex. 2 : 4~3 + 2~5 = (4+5)~(3+2) = 9~5
(Traduction : 1 - -3 = +4 = Ce qu'il faut donner à 5 pour obtenir 9.)

Ex. 3 : 7~10 - 5~2 = (7+2)~(10+5) = 9~15
(Traduction : -3 - +3 = -6 = Ce qu'il faut donner à 15 pour obtenir 9.)

Quand j'aurai le temps et le goût, je rédigerai un billet à propos de la multiplication, de la division et de la relation d'ordre à partir de la définition donnée ici. En attendant, vos commentaires sont bienvenus.
Ce billet est largement inspiré par : William Leonard Schaaf, Basic concepts of elementary mathematics, p.178 et suiv., 1969

mercredi 31 octobre 2012

La distributivité

Courriel provenant d’une enseignante : Comment peut-on expliquer l'importance d'apprendre la distributivité à des élèves de 5e année ??? Il y en a une qui s'obstine à dire que c'est trop long à calculer pour rien !

Ex :  52 x ( 5+2 ) 
Plus court 52 x 7  que (52 x 5) + (52 x 2)

Et elle n'a pas tort !


Réponse envoyée à l'enseignante :

Ton élève a parfaitement raison. Il est tout à fait ridicule d’utiliser la distributivité dans un problème arithmétique à moins que celle-ci n’accélère le calcul. J’ai vu des pages et des pages de «problèmes» dans lesquelles on demandait aux élèves de calculer des expressions arithmétiques en utilisant la distributivité. Imagine 50 problèmes tels que celui de ton exemple. Non seulement c’est abrutissant, mais c’est surtout complètement inutile.

Voici donc ce que je répondrais à ton élève.

D’abord, je lui montrerais que les nombres, c’est quasiment «vivant». Et qu’on peut les «combiner» via des «opérations.»

Commençons par l’addition : 8 + 5 c’est tout comme 5 + 8 (il faut rendre l’opération concrète, par exemple avec des ensembles de jetons).

Cette propriété qui permet de «switcher» les nombres par rapport à une opération tout en gardant la même valeur globale s’appelle commutativité de l’opération. Ici, la commutativité de l’addition.

Toujours avec des jetons, je lui ferais remarquer que cette propriété est vraie pour la multiplication, mais fausse pour la soustraction et la division.

Je passerais pas mal de temps sur la commutativité de la multiplication. Pourquoi ? Parce qu’on peut en faire ressortir l’aspect «mystérieux» :

Ex. 97 x 93 (si on donne le sens de «multiplier par» au symbole x) signifie :

97 + 97 + 97 + ... + 97 } 93 fois

alors que 93 x 97 signifie :

93 + 93 + 93 + ... + 93 } 97 fois

Comment se fait-il que le résultat soit le même ??? La question est intéressante et, en y répondant, on prouve que la multiplication est commutative chez les nombres naturels.

Je ferais ensuite remarquer que cette évidence (avec des jetons, c’est assez facile à démontrer) ne l’est pas pour TOUTES les structures mathématiques. Par exemple, un enseignant NE PEUT PAS DIRE que la commutativité de la multiplication est TOUJOURS VRAIE. En effet, il a des structures mathématiques (par exemple, les matrices) pour lesquelles c’est faux.

Bon, mais qu’en est-il de la distributivité de la multiplication sur l’addition ?

En fait, l’intérêt de cette propriété se manifeste surtout en algèbre : ex. 3 ( 2x +6 ) + 12 = 6x + 18 + 12 = 6x + 30. Et on peut même continuer par la factorisation, soit 6(x + 5). La distributivité joue dans les deux sens : a ( b + c) = ab + ac et ef + eg = e(f+g)

Ces «deux sens» (de droite à gauche, et de gauche à droite) par rapport au symbole = est TRÈS IMPORTANTE. Et il faut s’assurer que l’élève est à l’aise avec ces deux visions d’une même réalité.

Ceci dit, pour un élève de 5e, parler d’algèbre, c’est un peu comme lui dire :«Tu verras, tu en auras besoin plus tard», ce qui, à mon avis, ne doit JAMAIS ce faire. Les avantages d’un apprentissage doit être, généralement parlant, IMMÉDIATS.

Donc, que faire avec cette élève ?

D’abord, lui montrer la beauté de la chose.

Ex. 105 x 99. À la calculatrice, c’est assez simple à pitonner. Mais en calcul mental, c’est beaucoup plus ... intéressant. Essayons de comprendre :
105 + 105 + 105 .... + 105 
-------  99 fois --------

revient à faire :
 105 + 105 + 105 .... + 105   -  105
------- 100 fois -------     moins 1 fois.


ce qui, faut bien l’avouer, est beaucoup plus simple à compter dans sa tête puisqu’il suffit de faire 10500 - 105.

La généralisation de cette idée s'appelle la DISTRIBUTIVITÉ : 105 x 99 = 105 ( 100 - 1) !!!

D’ailleurs, dans l’algorithme de multiplication, c’est toujours ce principe de distributivité qui est utilisé. En maths, l’élève doit COMPRENDRE ce qu’il se passe, et non pas apprendre des recettes qu'il oubliera très rapidement.

Par la suite, au lieu de donner aux élèves des tonnes de «distributivité» à réaliser, je leur demanderais plutôt de trouver des manières de calculer plus rapidement des expressions arithmétiques. Puis, en gang, on vérifierait les méthodes des uns et des autres POUR LES MÊMES problèmes. On trouverait alors les avantages et les désavantages des méthodes utilisées, et on établirait les conditions dans lesquelles ces méthodes sont optimisées. L’idée est de rendre l’élève CRÉATEUR d’algorithmes mathématiques, et CRITIQUE des méthodes trouvées. On pourait ensuite faire des «vraies» mathématiques en leur demandant de GÉNÉRALISER ces algorithmes. On entre ainsi dans la troisième compétence (Communiquer à l'aide du langage mathématique) si on amène les élèves à exprimer clairement leurs découvertes.

vendredi 27 avril 2012

La notion de fonction : Le fameux f(x)

mercredi 25 avril 2012

La notion de fonction : Quelques définitions

lundi 23 avril 2012

La notion de fonction : 1. Introduction

mercredi 18 avril 2012

La soustraction chez les entiers : (-2) - (+3)

mardi 17 avril 2012

La soustraction chez les entiers : (-2) - (-5)

jeudi 8 mars 2012

Un quintilliard

Le décillion américain est le quintilliard européen. Il s'agit du nombre 1 suivi de 33 zéros :

1000000000000000000000000000000000


Les nombres commençant par 1 et se terminant par des zéros sont appelés des puissances de 10.

Par exemple, 100 est la deuxième puissance de 10. On note la chose ainsi 102.

Un quintilliard est donc la 33e puissance de 10. 1033

Jusqu'à preuve du contraire, ce quintilliard aurait une caractéristique bien spéciale. En effet, ce serait la plus grande puissance de 10 qui peut se partager en deux nombres dont aucun des deux ne possède de zéro :

8589934592 x 116415321826934814453125


Quoique parfaitement inutile, c'est tout de même fascinant, n'est-ce pas ?

Question. Vous me lisez certainement sur un ordinateur ou une tablette en ce moment ; puisque je n'aime pas vraiment qu'on me croie sur parole, comment vous y prendriez-vous pour vérifier que le produit mentionné plus haut donne bel et bien 1 quintilliard ?


Réf. C. Pickover, Keys to Infinity, p. 135, Wiley, 1996.

mercredi 25 janvier 2012

Deuxième essai HTML5

Mon deuxième essai en HTML5 avec Hype. Plusieurs scènes à ajouter, mais ça donne une bonne idée de ce qu'on pourrait faire pour enseigner des concepts importants.

jeudi 12 janvier 2012

La multiplication chez les entiers

Si vous avez toujours voulu comprendre pourquoi le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif, cette vidéo de moins de 6 minutes est pour vous. Je vous conseille cependant de jeter préalablement un oeil sur les deux précédentes : celle consacrée à l'addition et l'autre à la soustraction.

Le but de ma démarche est de démontrer la cohérence derrière le concept des entiers en partant de la définition même de ces nombres. Aucun truc, aucune magie et aucune loi ésotérique ne sont nécessaires pour s'approprier logiquement les processus reliés aux opérations sur les entiers.

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