Jobineries

Blogue de Gilles G. Jobin, Gatineau, Québec.

lundi 18 février 2008

Accromath 3

Jolie surprise qui m'attendait aujourd'hui au bureau.


En page 16, on trouve ces belles preuves sans mots.



La revue n'est pas encore disponible sur le site, mais cela ne saurait sans doute tarder.

Beauté VI

Demandez à un crapaud ce que c’est que la beauté, le grand beau, le to kalon. Il vous répondra que c’est sa crapaude [...] (Voltaire, Dictionnaire philosophique)



La géométrie plane exerce sur moi une profonde fascination. Depuis l'apparition des mathématiques dites modernes en pédagogie (fin des années 60), les programmes ont laissé tomber une grande part de la géométrie plane classique (axiomes, prépositions, théorèmes, preuves...) pour la remplacer par des bidules plus utilitaires du genre description de solides ou de figures planes, application de certains théorèmes, etc.

Pourtant, l'un des très grands intérêts de la géométrie réside dans la créativité exigée pour démontrer des théorèmes. Il me semble aussi qu'on peut goûter à la beauté intellectuelle en visionnant certains résultats. Voyez par exemple cette illustration du théorème de Thébault, découvert en 1937.

Sur les côtés d'un parallélogramme, on construit des carrés. Le théorème dit que si, à partir des centres de ces carrés, on construit un polygone alors ce polygone sera aussi un carré !


Dans la figure, vous pouvez déplacer les points A, B et C pour vous persuader de la validité du théorème. La molette de votre souris agrandit ou rétrécit l'image.

Il reste bien sûr à le démonter rigoureusement. Mais je m'intéresse plutôt à l'émotion engendrée par le théorème. Trouvez-vous ce théorème BEAU? Vous laisse-t-il indifférent? Dans l'un comme dans l'autre cas, comment expliquer les sentiments ressentis? Comment se fait-il que certaines personnes soient atteintes par un tel résultat, alors que d'autres n'y voient que de la bouillie pour les chats ou une incommensurable perte de temps?

La situation est semblable en art. Comment se fait-il que certains soient charmés par une fugue de Bach, alors que d'autres s'ennuient à son écoute? qu'un poème de Nelligan nous laisse insensibles alors que d'autres en pleurent d'émotion?

Je n'ai pas de réponse, et il me semble que s'il y en avait une, elle me décevrait. Car j'aime bien cette différence. Cela me rappelle que l'autre est un mystère, non pas une machine bien programmée. La beauté se trouve dans à peu près tout. Au cerveau de décider. « Que l'importance soit dans ton regard, non dans la chose regardée », disait Gide. Et n'est-ce pas là notre rôle, comme parents ou pédagogues, de reconnaître la flamme dans le regard d'un enfant?

jeudi 14 février 2008

zède deux plus c

-Wow, c'est don' ben' beau!

J'étais dans une classe de primaire, deuxième cycle. Je m'apprêtais à une petite séance Squeak, mais des enfants lançaient les exclamations devant mon fond d'écran.

- Vous savez ce que c'est ?

- Un bonhomme pain d'épice ?

- Non.

- Un trou noir ?

- Mais non !

- ...

- C'est un objet fractal.

- ...

- Vous savez ce qu'est une dimension ?

- (La titulaire de la classe) Pensez à vos solides. Largeur...

- (Moi) Oui, oui, il y a la largeur, la hauteur, la longueur. La plupart des gens pensent qu'il y a trois dimensions. Mais depuis Einstein, on décrit généralement l'univers avec une quatrième dimension : le temps. Mais il y aussi un monsieur qui a découvert que certains objets avaient des dimensions bizarres, genre quelque chose entre 1 et 2. Ce sont ses objets qu'on nomme FRACTALS. Et on peut en donner une idée assez vague avec un ordinateur. L'image que vous voyez est l'une de ses idées.

- Ça l'air compliqué...

- (Moi, souriant) Oui et non. Attendez, je vais essayer de vous décrire un peu comment ça marche. Imaginez une boîte. Dans cette boîte, il y a une petite formule mathématique. On appelle ça une fonction. Il y a deux trous. Par l'un des trous, on entre des nombres, et ils ressortent par l'autre. Ici, par exemple, dans la boîte, il y a 2 fois nombre. Ça veut juste dire que si j'entre un nombre, il sortira multiplié par deux.

- Si j'entre 10, qu'elle sera la sortie ?

Tout le monde lance 20.

- Ok, si j'entre 100 ?

- 200!

- Bon vous avez compris. Mais la manière de construire un object fractal du type que vous voyez sur mon écran est basée sur le principe suivant. Quand j'entre un nombre, je regarde ce qu'il en sort, Et le nombre qui sort, je le "ré-entre" dans la boîte. Puis, je regarde ce qu'il en sort, et je ré-entre le nouveau résultat. Et ainsi de suite. Évidemment, un ordinateur fait ça très rapidement.

- (Un petit futé) Mais monsieur Gilles, les nombres doivent devenir très gros...

- Tu as raison. Par exemple ici, en commençant avec 10, j'aurai : 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, etc.

- Mais comment ça peut donner une image comme sur votre écran?

- C'est là que les choses deviennent intéressantes. L'idée est de vérifier à chaque fois le nombre qui sort. S'il dépasse une certaine valeur, on met un point d'une certaine couleur à l'écran selon le temps que cela lui a pris pour atteindre la valeur en question. Dans l'exemple que je vous donne ici, supposons que la certaine valeur est 100. C'est, disons, la limite que je m'impose. Si on commence par entrer 1 dans la boîte, on aura successivement :

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (oups, après 7 itérations, on dépasse 100).

Si on entre par exemple, 15, on aura : 30, 60, 120, et trois itérations seulement ont été nécessaires.

Et là, la personne qui veut voir l'objet pourrait par exemple décréter que tous les nombres qui dépassent 100 après une itération sont noirs, après deux itérations sont rouges, après trois itérations sont bleus, etc. Dans certains cas, selon la formule qu'on met dans la boîte et des nombres qu'on y entre à tour de rôle, ça donne des trucs comme vous voyez sur mon écran.

- Monsieur Gilles ?

Une main est levée.

- Oui, Nicolas.

- C'est quoi la vraie formule qui donne votre dessin à l'écran?

Comment répondre à une telle question? Autant y aller avec la vérité. Et j'écris au tableau :

z² + c

zède, c'est le nombre que j'entre dans la boîte. z², ça veut juste dire que je dois le multiplier par lui-même. Par exemple, si mon z est 10, z² signifie que je dois faire z fois z, donc 10 fois 10 ce qui donne 100.

- Et le petit c, c'est quoi?

Il en pose des questions cet enfant...

- Le petit c, on appelle ça une constante. Ça veut juste dire que c'est un nombre qui ne change pas. Par exemple, supposons que c vaut 50. Alors on a z² + 50. Donc, si j'entre 10 dans la boîte, j'aurai : 10 fois 10, ce qui donne 100, et 100 + 50 donne 150. Il va donc falloir que je ré-entre dans la boîte 150. Ce qui va donner : 150 fois 150.... 22500 et si j'ajoute le 50, on a 22550...

- C'est gros...

- Oui, mais on peut entrer des nombres assez petits pour commencer. Car voyez-vous, il y a toutes sortes de nombres! Mais ce sera pour une autre fois...