Jobineries

Blogue de Gilles G. Jobin, Gatineau, Québec.

jeudi 12 janvier 2012

La multiplication chez les entiers

Si vous avez toujours voulu comprendre pourquoi le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif, cette vidéo de moins de 6 minutes est pour vous. Je vous conseille cependant de jeter préalablement un oeil sur les deux précédentes : celle consacrée à l'addition et l'autre à la soustraction.

Le but de ma démarche est de démontrer la cohérence derrière le concept des entiers en partant de la définition même de ces nombres. Aucun truc, aucune magie et aucune loi ésotérique ne sont nécessaires pour s'approprier logiquement les processus reliés aux opérations sur les entiers.

mardi 10 janvier 2012

La soustraction chez les entiers : courte vidéo



Logiciels utilisés :
- Keynote pour l'animation ;
- ScreenFlow pour le montage.

L'addition chez les entiers : courte vidéo



Logiciels utilisés
- Keynote pour l'animation ;
- ScreenFlow pour le montage.

dimanche 3 octobre 2010

Inéquations

Cela faisait longtemps qu'on l'attendait : Geogebra 4.0 (toujours en bêta) peut maintenant tracer des inéquations.

samedi 4 septembre 2010

Métamorphose chez les entiers

En suivant cette vidéo, cela m'a donné l'idée de faire un premier essai avec iWork.Keynote. Cela demanderait sans doute encore un peu de raffinement, mais j'en suis tout de même assez content. C'était la première fois que j'essayais de faire un quelconque montage avec ce logiciel. Avec le taponnage classique du débutant autodidacte, j'ai pris environ 90 minutes à le réaliser.

mercredi 5 mai 2010

Les contresens

Une foule d'absurdités encombre certains livres primaires. La théorie de la multiplication et de la division sont de pures calembredaines inintelligibles pour des enfants de moins de treize ans. Que de problèmes stupides sur les partages inversement proportionnels, sur des robinets dont l'un remplit et l'autre vide un réservoir !
Jules Payot, La faillite de l'enseignement, p.230, Librairie Félix Alcan, 1937.

Je relis beaucoup; je crois comprendre beaucoup mieux. C'est une vieillesse qui n'est pas sans charme que celle que l'on consacre à corriger ses vieux contresens.
Émile Faguet, L'art de lire, éd Armand Colin, p. 140.

Il n'y a pas de troubles mathématiques. Il n'y a que des enfants troublés.
Stella Baruk, Échec et maths, Éd. Seuil Points/S11.


En fouillant pour des applications de Mathematica à l’école primaire, je suis tombé sur ce fichier illustrant la division chez les entiers. (Cliquez sur le lien pour télécharger le Mathematica Player et le fichier. Vous verrez que les glisseurs permettent de modifier le dividende et le diviseur.)

Mais...

Mais observez bien la figure. N’y trouvez-vous pas quelque chose... d’incompréhensible ?

Non ?

Alors peut-être cela vous sera-t-il plus évident à partir des images ci-dessous tirées du même fichier.


Fig. 2



Fig. 3



Fig. 4


Il faut vraiment faire attention avec ce qu’on trouve sur le web. Et toujours garder son esprit critique. Ce fichier se trouvant sur l’excellent (mais vraiment EXCELLENT) site de Mathematica, on pourrait s’attendre à n’y trouver que du matériel presque parfait. Ce n’est pas le cas ici. Mes explications :

Prenons la première image qui illustre la division de 20 par 3.

D’abord, n’oublions pas qu’on s’adresse ici à des élèves de niveau élémentaire. On serait fort tenté d’utiliser ce fichier comme support à l’enseignement. Mais, enseignant qui lisez ceci, n’en faites rien !!!
  1. Le contexte n’est pas donné. On sait que le symbole de division peut vouloir dire deux idées très différentes
    • L’idée de partage dans le cas, par exemple, où 3 personnes désirent partager 20 pommes.
    • L’idée de contenance. Par exemple : combien de paquets de trois pommes puis-je faire si j’ai 20 pommes ? Dans le cas qui nous intéresse ici, il s’agit clairement d’une division contenance, car on réalise des paquets de trois rectangles, paquets séparés par une ligne horizontale bleue. (Note : pour illustrer la division partage, on procéderait de la manière suivante : un petit rectangle à Paul, un petit rectangle à Pierre, un petit rectangle à Gilles, qu’on répéterait autant de fois que nécessaire.)
  2. Pour être «concret», l’auteur du fichier indique le nombre-de-fois par un rectangle bleu (l'aboutissement de mes flèches dans l'image). Un objet rectangle agit donc comme compteur-de-fois qu’on trouve 3 dans 20. Ce choix est didactiquement discutable. L’enfant pourrait facilement croire que partager 20 rectangles en paquet de trois rectangles a pour résultat des rectangles, alors que le résultat est un nombre de paquets de trois rectangles.
  3. Fig. 2
  4. Autre problème didactique qui m'apparaît plus grave. Que fait l’auteur avec les deux autres rectangles qui restent ? Tout semble indiquer qu’il transforme ça en deux tiers d’un nouveau rectangle dont les dimensions sont prises on ne sait trop où. Comment voulez-vous qu’un enfant y comprenne quelque chose : il n’y a rien, mais absolument rien de logiquement correct dans ce «report» de deux rectangles.
    D’ailleurs, dans la division contenance, le reste doit rester un reste. Ici, on devrait avoir comme réponse : Je peux faire 6 paquets (illustrés par de petits rectangles à droite) et il me reste deux rectangles (rectangles qui n’ont aucun lien avec les rectangles de droite) avec lesquelles je ne peux faire de paquet. À la limite, sans doute pourrait-on dire : avec les deux rectangles qui restent, on peut remplir aux 2/3 un paquet de même dimension que les paquets précédents.
    C’est ce que la fig.4 semble vouloir monter. Je peux faire un paquets de cinq rectangles et je remplis aux 4/5 un autre paquet. Mais cette explication est à la limite du pédagogiquement acceptable et, didactiquement parlant, à éviter. L'enfant voit des rectangles qui, à gauche représentent de vrais objets, et à droite des nombres-de-fois, et même une fraction de nombre-de-fois. N'est-ce pas ajouter de la confusion ?
    En comparant toutes les images, un enfant un peu alerte pourrait nous demander, par exemple, ce qu’on fait avec le vide dans un paquet et pourquoi le paquet qui contienne les restes n'est pas toujours égal au paquet qui représente le nombre-de-fois. À mon avis, ces illustrations contribuent au petit côté magique des mathématiques où l’enfant sent qu’il n’y a rien à comprendre, que c’est comme ça, et c’est tout !
En conclusion, assurez-vous que les fichiers que vous utilisez (peu importe le logiciel) ne contiennent pas des erreurs didactiques fondamentales. Sur Internet, on trouve partout des applets Java qui se veulent bien intentionnés, mais qui, peut-être, risquent de mêler les enfants plus que de les aider. Soyez aussi critique avec les livres que vous utilisez : plusieurs risquent de contenir des erreurs conceptuelles graves. Il ne faut pas oublier qu’il est beaucoup plus difficile d’enseigner avec rigueur les concepts de base comme la notion de nombres, de fractions, etc. que d’enseigner la trigonométrie ou la géométrie analytique ! Soyez donc attentif aux contresens qui dénaturent ce qu’ils veulent démontrer.

jeudi 4 février 2010

Entier en classe

Sur invitation de deux enseignantes de maths de la première secondaire, je suis retourné, pour quelques heures, en mode enseignant. Intéressées par mon approche sur les opérations sur les nombres entiers, j'ai illustré ma méthode à leurs groupes. L'expérience fut on ne peut plus enrichissante.

Ci-dessous, je suis en train d'ajouter des entiers.





Sur la photo ci-dessus, je demande à un élève d'enlever des billes blanches (+) d'une poignée des billes rouges (-) de la main d'une autre élève.
- Impossible, me lance-t-il, car il n'y a pas de billes blanches dans sa main.
- Si, si, si tu peux !
- Non, j'peux pas...
- (En criant) SI TU PEUX.
Je pense que toute la classe m'a pris pour un vieux fou...

J'aime aussi envoyer les élèves au tableau.





Là, une feuille de travail d'un jeune.

lundi 12 octobre 2009

Technolâtrie?

Rudolf Bkouche vient de publier un article intitulé Des tice dans l'enseignement des mathématiques. Je ne suis pas trop au courant du curriculum français au regard des mathématiques. Mais la critique de l'auteur par rapport à l'intégration (attention, ce mot n'est jamais utilisé dans l'article) des TIC en maths est intéressante.

D'abord quelques citations :
  • Le terme « formation », qui tend aujourd'hui, à remplacer le terme « enseignement », n'est pas anodin, il signifie qu'on forme la matière humaine comme les métallurgistes donnent forme au métal en fusion pour construire un objet fini. (P.4)
  • [...] le culte de l'évaluation est devenu l'un des premiers obstacles à l'enseignement. (P.5)
  • [...] l'institution, soucieuse de réussite des élèves, ce qu'on appelle aujourd'hui l'obligation de résultats [...]. (P.7)
  • L'usage à tout va de ces machines a conduit à deux attitudes opposées que nous pourrions appeler la technolâtrie et la technophobie. (P.12)
Passé outre quelques expressions cyniques du genre « thuriféraires » (p.1) et « poncifs » (p.12) de l'informatique pédagogique qui encadrent le texte, on peut s'attarder sur l'idée de l'article qui est assez répandue chez plusieurs enseignants de maths : pour comprendre, tu dois pratiquer. Dans ce contexte, l'ordinateur peut apparaître comme une menace pédagogique, car plusieurs logiciels sont maintenant capables de prendre la place de l'élève qui doit « pratiquer ». Pour M. Bkouche, sens et technique sont intimement liés. Pour lui, par exemple, la compréhension des opérations est inséparable de leur pratique.

Voir un ordinateur d'abord comme un objet technique amène, je crois, ce genre de réflexions. Mais l'ordinateur n'est pas qu'un objet technique. Et il me semble que depuis le début des années 80, des hommes comme Seymour Papert (Mindstoms), Mitchel Resnick et Hal Abelson (Turtle Geometry) entre autres l'ont très bien démontré : l'ordinateur utilisé comme machine de programmation par les élèves leur permet de développer des « idées puissantes ». Cet aspect est complètement absent de l'article de M. Bkouche.

Quelques exemples suffiront, je pense, à monter toute la force d'une approche de la mathématique à l'aide d'un ordinateur.

1. Les nombres décimaux

En troisième année, les enfants ont 8 ans et n'ont pas encore appris le concept de nombre décimal.

Dans un projet Scratch, les enfants doivent animer un personnage. Pour ce faire, le lutin (c'est un objet) prend, disons, 2 formes différentes. (Dans Scratch, on les appelle des costumes). Le lutin, en exécutant une boucle, modifiera son costume et, ainsi, donnera l'illusion d'une animation.

Cependant, les choses se corsent et tout ne va pas comme on le voudrait. En effet, le lutin change beaucoup trop vite de costume ce qui enlève un peu de réalisme à l'animation. L'enfant doit donc ralentir le passage d'un costume à l'autre. Il le fait à l'aide de la brique ATTENDRE qui, par défaut, est initialisée à 1 seconde.

Mais attendre une seconde entre chaque changement de costume rend l'animation beaucoup trop lente. Cependant, après plusieurs expériences, l'enfant va sentir qu'il doit y avoir quelque chose entre 0 et 1. Le besoin d'une nouvelle catégorie de nombres est alors créé.

2. Les angles

Le passage du tracé du carré au tracé du triangle est un questionnement classique en LOGO. Comme j'en ai déjà discuté récemment, je réfère le lecteur intéressé au billet en question.

3. Les entiers

Un peu de la même manière qu'on peut susciter un certain besoin des nombres décimaux, on peut le faire pour les entiers. En Scratch, la brique « avancer de ... pas » permet d'avancer un lutin. Assez rapidement, l'élève voudra que son lutin puisse aussi reculer. Or, aucune brique reculer n'existe. Vous aurez compris qu'il suffit d'avancer d'un nombre négatif de pas.

On peut alors assez facilement amener l'élève à opérer sur ces nombres. En effet, par défaut, un lutin pointe vers une certaine direction (à droite). Cependant, si on modifier cette option par défaut (par exemple, gauche) et qu'on ordonne au lutin d'avancer d'un nombre négatif de pas, ce dernier ira vers la droite ! Les deux actions, en quelque sorte, se multiplient. Bien sûr, l'enseignant amènera ensuite l'élève plus loin avec, entre autres, le formalisme mathématique associé à tous ces concepts. Je crois que ce formalisme, ayant un ancrage dans le projet personnel de l'élève, sera beaucoup plus simple à faire comprendre.

4. Le concept de variable

L'algèbre élémentaire n'est qu'une généralisation utile de l'arithmétique. Au lieu de dire le nombre 2, on parle d'un nombre quelconque. Via un projet de programmation informatique, il est très aisé d'introduire le concept de variable, car on désire généralement de la flexibilité. Par exemple, faire un carré de côté 100, puis un autre de côté 101, et un autre de côté 102, etc. est un peu fastidieux. Au lieu de cela, on crée un carré de longueur variable, et on situe la variable dans un intervalle choisi.

Puis, assez rapidement, l'élève utilisera à son insu la notion de « fonction » (concept d'entrée/sortie) et ce, encore une fois, par nécessité pratique. Bien sûr, l'enseignant devra monter à l'élève comment formaliser la chose, mais, au moins, l'élève comprendra l'origine et la force et la nécessité de cette notion.

On pourrait continuer avec plusieurs autres idées mathématiques où la programmation informatique arrive au secours de l'enseignant en plaçant l'élève dans des contextes qui feront émerger des concepts mathématiques essentiels. Ainsi, les mathématiques feront sens pour l'élève. L'ancrage des apprentissages se faisant dans des projets propres à l'élève, il me semble que ces apprentissages auront beaucoup plus de chances de garder une certaine permanence dans le cerveau des enfants.

L'article de M. Bkouche occulte complètement cet aspect essentiel de l'informatique pédagogique. Bien sûr, on peut se servir de l'informatique pour pratiquer des concepts, mais la grande force de l'informatique est surtout de permettre la (re)découverte de concepts fondamentaux. Évidemment, il faut les bons logiciels pour ce faire ; il faut aussi un pédagogue d'abord centré sur l'élève et non sur le programme à passer ; de plus, il est bien certain qu'il faut faire un certain deuil de la hiérarchisation des connaissances.

Les erreurs du passé

Le constructionnisme associé au LOGO a été (et il l'est toujours) très mal compris par les pédagogues. Plusieurs le dénaturaient. Comme, par exemple, ce conseiller pédagogique de l'époque qui rédigea un manuel de l'élève rempli d'instructions que l'élève devait suivre pas à pas. Pour moi, on peut apprendre un langage en construisant son projet. L'idée principale ici étant de permettre à l'élève de construire « quelque chose » de manière à ce qu'il puisse s'appuyer sur sa construction pour démontrer et expliquer les différents processus qu'il a utilisés pendant sa réalisation.

Il ne s'agit donc plus ici pour un enseignant de transmettre une certaine matière et de la vérifier à l'aide d'un examen mais bien de laisser l'élève « apprendre » pendant la réalisation de son projet.

La mode LOGO passée, certains penseurs de l'informatique pédagogique ont décidé qu'au Québec, il suffisait de montrer aux enseignants à programmer en BASIC. Cela pour leur permettre d'écrire des logiciels de type exerciseurs pour les élèves. À l'époque, plusieurs enseignants craignaient que l'ordinateur, un jour, prenne « leur place ». Il ne faut pas oublier qu'on était dans les beaux jours de l'enseignement par objectifs. Or, on imaginait assez bien une machine qui enseignerait dans ce mode : (voix de robot) Élève, fais étape 1 ; Élève, vérifie étape 1 ; Désolé ! Élève refait étape 2 avec autres exercices ; Élèves, revérifie ; Bravo ! Élève, fais étape 2, etc.

Ce fut un échec total. Certains ont bien acquis une attestation universitaire APO, (application pédagogique de l'ordinateur), mais ils ont à peu près tous mis leur diplôme dans le tiroir et sont retournés à la bonne vieille tradition : j'enseigne, tu écoutes, tu fais les exercices, je te teste, et on recommence : j'enseigne, tu écoutes,... Fort peu ont remarqué qu'en programmant, ils apprenaient ! Et donc, fort peu ont eu l'idée d'utiliser de faire utiliser la programmation par les élèves ! Il faut dire qu'il y en avait une bonne quantité qui avait été complètement écoeurée par les exercices stupides que l'université imposait. Donc, personne ne comprenait la force de l'informatique pédagogique, car on l'associait à de l'enseignement programmé.

Et aujourd'hui ?

Quelques personnes croient toujours que l'ordinateur doit être dans les mains des élèves pour qu'ainsi, ils demeurent actifs dans leurs apprentissages. Mais force est de constater que cette croyance n'est pas très répandue ; on gaspille actuellement des milliers de dollars à acheter des tableaux blancs interactifs électroniques au lieu d'acheter des ordinateurs qui seraient disponibles et utilisables en tout temps par les élèves.

Pour la grande majorité des enseignants, un élève qui utilise une suite bureautique est un élève qui intègre les TIC. Pourquoi ? Parce que les enseignants, les directeurs d'écoles et les conseillers pédagogiques n'ont pas encore appris à détecter ce que les élèves apprennent avec les TIC. On se contente donc de penser papier à l'aide d'un ordinateur. Et, ne sachant observer les apprentissages des élèves, ils peuvent difficilement en rendre compte à l'élève lui-même, à ses parents et aux administrateurs scolaires. Cela est le grand malheur. Et cela est sans doute l'apprentissage qu'ils devront le plus rapidement possible réaliser. Sinon, je ne donne pas cher de l'école. Car la réussite des élèves n'est pas, comme le dit M. Bkouche, une obligation de résultats. D'après moi, un élève qui réussit est un élève qui prend conscience des forces et des défis dans les apprentissages qu'il réalise et des processus qu'il actualise quand il apprend.

dimanche 16 août 2009

Mathematica

Si vous êtes au Canada ou aux États-Unis, pour un temps limité, vous pouvez acheter « a full-featured Mathematica license » pour seulement 49$ ! Évidemment, j'ai profité de l'offre car Mathematica roule presque parfaitement bien sous Linux.

C'est un outil tout à fait extraordinaire que j'explore depuis quelques jours. Je vais sans doute vous revenir avec un peu plus de commentaires dans un avenir rapproché.

C'est grâce à un gazouillis de Missmath que j'ai découvert cette offre exceptionnelle. Un grand merci à cette gentille dame !

dimanche 24 mai 2009

Citation mathématique

Ce n'est que tout récemment que j'ai appris l'existence du livre Mathematically speaking, une collection de citations autour des mathématiques. Le choix des citations appartient à C.G. Gaither et A.E. Cavazos-Gaither. Le livre date de 1998 et semble toujours disponible chez Amazon.com. Pour ma part, je l'ai obtenu d'une bouquinerie d'Angleterre.

Sous le thème e, j'ai trouvé la citation suivante
2(5/2)(2/5) = e
attribuée à G.W.Brewster, dans The Mathematical Gazette, vol. 25, no.263, Febuary 1941 (p. 49)

Cette identité ne me disant absolument rien, j'ai demandé à Google de faire le calcul, juste pour voir :

Hum... 2.71829099 est assez loin de 2,7182818..., valeur à laquelle on doit s'attendre si l'expression est vraie. Google serait-il imprécis ? J'essaie donc avec ma calculatrice linux qui renvoie la même valeur que Google.

Suspicion... suspicion...

Je retournai sur le web en demandant cette fois de me sortir les sites où il est question du Mathematical Gazette de février 1941. J'apprends alors que Brewster a effectivement publié un article intitulé An awkward integral dans lequel il étudiait le comportement de l'intégrale de la fonction xx. Voir le post de Dave L. Renfro où il dit ne pas se rappeler si Brewster considérait l'expression comme une identité. Puisque je n'ai pas trouvé l'article du Mathematical Gazette en ligne, si l'un de mes lecteurs pouvait dénicher l'article dans une bibliothèque universitaire, j'apprécierais bien qu'il puisse nous faire ici un petit compte rendu de sa lecture au regard de cette citation.

Mise à jour du 25 mai

Merci à Patrick Giroux qui m'a fait parvenir un PDF de l'article. À la fin, on trouve cette phrase, bien traduite par notre ami Hassan (voir commentaire 1).

mercredi 20 mai 2009

Fingermath

Une enseignante m'a montré le livre « The complete book of fingermath ». Évidemment, je n'ai fait ni un ni deux et l'ai commandé via abebooks.fr.

Curieusement, on parle assez peu de cette technique sur le web. Voici tout de même deux courtes vidéos tirées de YouTube :

samedi 11 avril 2009

Les nombres et la programmation

Quel beau passe-temps que la
programmation informatique.

Via le site du Coyote, je découvre aujourd'hui le Project Euler.

Régulièrement, le site énonce des problèmes qu'on peut résoudre à l'aide d'un langage de programmation. Voyez le premier problème qui date déjà de 2001 :

« Si on énumère tous les nombres naturels inférieurs à 10 qui sont multiples de 3 ou de 5, on obtient 3, 5, 6 et 9. La somme est 23.
Question : Trouver la somme des multiples de 3 ou 5 inférieurs à 1000.
 »

Voici ma solution en ... Scratch !



Et vous, comment vous y prendriez-vous pour résoudre ce problème ?

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