Jobineries

Blogue de Gilles G. Jobin, Gatineau, Québec.

jeudi 26 mai 2005

La beauté I

Mathematics is not a science - it is not capable of proving or disproving the existence of things. A mathematician's ultimate concern is that his or her inventions be logical, not realistic.
Michael Guillen, Bridges to Infinity


Il peut arriver de tomber en amour avec un problème. Tel fut mon cas pour celui-ci :


C'est un tableau de 8 cases sur 8 cases auquel on a retranché la case inférieure droite et la case supérieure gauche. Le problème est de démontrer qu'il est possible (ou impossible) de couvrir les 62 cases à l'aide de 31 dominos qui englobent eux-mêmes deux cases contiguës.

Si vous prenez le temps de construire le matériel pour faire vos propres essais, vous vous rendrez bien vite compte que la chose est loin d'être simple. Plus vous ferez des tentatives, plus vous serez persuadé qu'il est probablement impossible de remplir la condition. Or on cherche ici une preuve et non pas seulement une vague impression.

C'est là qu'entre toute la beauté d'un ingénieux HAHA. Le problème avec les intuitions géniales est qu'elles peuvent survenir en 10 secondes, en 10 jours, en 10 ans ou jamais... Je vais donc ici vous dévoiler ce HAHA.

Colorons alternativement les cases en blanc et noir.

Le tableau contient maintenant 30 cases blanches et 32 cases noires, puisque les deux cases de coin supprimées sont blanches. Or, les dominos couvrent nécessairement une case blanche et une case noire puisqu'ils couvrent des cases contiguës. Nous avons au total 31 dominos. Donc, en supposant qu'il soit possible de les placer, ils couvriront 31 cases blanches et 31 cases noires. Cela est donc impossible puisque nous n'avons que 30 cases blanches. CQFD.

Je crois profondément que même si vous détestez ce type de problèmes, vous ne pouvez qu'être estomaqué devant une telle démonstration du raisonnement humain. Cette solution est à mon avis d'une très grande beauté. Elle est simple, ingénieuse, brillante. Cette solution illustre la force de notre cerveau et je vois difficilement comment un superordinateur équipé d'une intelligence artificielle grandiose pourrait arriver à une telle solution. Mais s'il y arrivait, alors je donnerais certainement le statut de vivant à cette machine.

Revenons un peu sur le problème pour en tirer quelques observations.
  1. Il est aculturel car aucune connaissance préalable n'est nécessaire;
  2. Il est de la catégorie essaie-erreur où tous les essais seront ratés;
  3. Il est extrêmement plate, et ne semble avoir aucune utilité pratique;
  4. Son énoncé est très simple;
  5. Il n'attirera probablement que peu de personnes.
Pour ma part jamais je ne demanderais à des élèves de le résoudre.

Cependant, je n'hésiterais pas un instant à le leur soumettre. Et après cinq minutes maximum d'essais, je leur balancerais la solution. Car, voyez-vous, le grand intérêt ici réside justement dans la beauté de sa solution, et dans les discussions qui risquent d'en découler. D'ailleurs, mon objectif serait de vérifier si les élèves sont capables d'apprécier une telle solution. (Pourquoi n'existe-t-il pas une compétence intitulée «Apprécier des oeuvres mathématiques»?) De plus, il est dans mes convictions très profondes qu'il faut montrer des centaines de problèmes et solutions aux élèves et tenter avec eux de dégager les caractéristiques de ces solutions de manière à ce qu'ils puissent construire une banque «expériencielle» de raisonnements mathématiques.

Mais au fait, qu'en est-il de cette solution?
  1. Elle est extrêmement simple mais extrêmement difficile à trouver (HAHA!) ;
  2. La solution consiste à ajouter des éléments qui n'y étaient pas (le noir et le blanc);
  3. Les dominos sont aussi notés (blanc-noir);
  4. Cette notation du problème a permis ensuite de le résoudre par simple raisonnement arithmétique.
Lorsque j'ai lu ce billet de François Guité sur la beauté, j'ai immédiatement pensé à ce problème dont la solution m'épate toujours autant.

mercredi 25 mai 2005

CSS, nombres entiers et pédagogie

Ce billet se veut aussi un complément à un commentaire de Benoit St-André laissé sur ce billet.

Le HTML (HyperText Markup Language) est le véritable crayon du web. C'est à l'aide de ce langage qu'on crée des pages web. Pour avoir une idée de ce à quoi ça ressemble, de votre navigateur, choisissez l'option afficher le code source. Vous verrez alors ce qui se cache derrière la page que vous lisez.

CSS est l'acronyme pour Cascading Style Sheets. C'est aussi un langage qui s'intègre au HTML pour donner du style à la page.

Dans ma CS, il y a un enseignant qui dès le deuxième cycle du primaire, permet aux élèves de faire leurs pages web personnelles à l'aide du Blocnote de Windows. Autrement dit, les petits écrivent directement le code HTML dans cet éditeur de texte. C'est donc dire que le HTML ne demande pas un doctorat pour être utilisé.

Les CSS viennent à peu près immédiatement après un apprentissage de base du HTML. Il est donc envisageable que dès le troisième cycle du primaire, les jeunes puissent utiliser ce langage dans la structure de leurs pages web.

Or dans les CSS, il y a un truc très intéressant qui s'appelle le positionnement d'éléments. Le concept est fort simple. Par exemple, sur le blogue que vous lisez en moment, la fenêtre principale fait tout l'écran (le fond d'écran vert le délimite). Sur cet écran, le programmeur a positionné un élément à l'intérieur duquel deux autres éléments (deux colonnes) sont placés côte à côte. Les CSS permettent de positionner de manière très précises de tels éléments sur un écran.

Pour vous donner une petite idée de tout ça, voyez la figure ci-dessous (pour les besoins de l'exemple, nous supposerons que le carré rouge fait 100 pixels x 100 pixels) :
Nous avons positionné le bloc bleu à peu près au centre du bloc rouge. Dans le langage CSS, cela pourrait se traduire ainsi :
left:25px top: 25px bottom:25px right:25px
qui signifie que
  • le côté gauche du bloc bleu est situé à 25px à droite du côté gauche du conteneur;
  • le côté haut du bloc bleu est situé à 25 pixels en bas du côté haut du conteneur;
  • le côté bas du bloc bleu est situé à 25 pixels en haut du côté bas du conteneur;
  • le côté droit du bloc bleu est situé à 25 pixels à gauche du côté droit du conteneur.
Question de m'assurer que vous avez bien compris, ici :
on pourrait décrire la situation ainsi :
left:50px top:50px bottom:0px right:0px.
Mais qu'arrive-t-il si on déplace la bloc positionné un peu à l'extérieur du conteneur ? Comment décrire cette position?

L'illustration ci-dessous met les repères essentiels :
Remarquez comment le positif se retrouve toujours à l'intérieur du conteneur, ce qui, vous en conviendrez est assez logique. Et donc, un positionnement comme l'illustration ci-dessous :
se noterait à peu près ainsi : left: 75px top: -25px right: -25px bottom: 50px
Remarquez la superbe introduction des nombres négatifs pour préciser le sens du positionnement du côté. Notez aussi que dans le même système, se déplacer vers la droite peut être positif si c'est le côté gauche qui se déplace (flèche 1) ou négatif si c'est la côté droit qui se déplace (flèche 4). N'est-ce pas là quelque chose de remarquable et d'inusité mais, dans le fond, très logique. Notez aussi la nécessité d'utiliser quatre nombres pour préciser la position. (Par comparaision, dans le plan cartésien, deux nombres seulement sont nécessaires.) Si on veut, c'est une espèce de géométrie à quatre dimensions et, mathématiquement parlant, on pourrait sans doute construire toute une série de théorèmes sur cette géométrie. On pourrait même introduire une troisième (cinquième?) dimension car le CSS permet de donner une priorité à la visibilité des objets. Dans les cas ci-haut, on pourrait par exemple basculer le bloc bleu derrière le bloc rouge.

L'intérêt de baigner l'élève (qui le désire) dans un tel système est justement le fait qu'il s'approprie et manipule concrètement un système, une convention. Lorsqu'il sera appelé, plus tard, à étudier le système cartésien ce ne sera plus pour lui qu'un autre système de positionnement, une autre convention. De la même manière, lorsqu'il étudiera le système de coordonnées sphériques où, pour positionner un point, on donne une longueur et un angle.

L'avantage du CSS (et de toute programmation informatique) réside dans l'expérience directe de la résolution de problèmes car on voit ce que ça donne en testant immédiatement son code. Quoi de mieux pour développer sa compétence à résoudre des problèmes?

lundi 23 mai 2005

La relation d'ordre chez les entiers

Avertissement

Cet article fait suite à mon billet où un élève cherchait à comprendre que le produit de deux entiers négatifs donne un nombre positif. Dans cette suite, je tiens pour acquis que le concept de soustraction chez les entiers est très bien compris par l'élève.


Quelquefois, hasarder des réponses est seulement une manière d'éclaircir pour soi-même des questions.
Alessandro Baricco, L'âme de Hegel et les vaches du Wisconsin.


ÉLÈ : Puis-je vous déranger un instant?
En soulevant les yeux de son livre, il aperçut son élève de sa dernière classe de récupération.
ENS : Bien sûr, assieds-toi.
ÉLÈ : Ça ne fonctionne pas votre truc de billes blanches et de billes noires.
Sourire de l'enseignant.
ENS : Et pourquoi donc?
ÉLÈ : Vous avez vos billes ? Je vais vous montrer...
L'enseignant sortit les deux boites de son jeu de Go. L'élève prit alors 5 billes noires dans sa main droite et 4 billes blanches dans sa main gauche.

comparaison


ÉLÈ (fièrement) : Dans votre système, on a -5 d'un côté et +4 de l'autre.
L'enseignant était content. Le rapport concert/abstrait était pour lui une grande satisfaction pédgogique.
ÉLÈ (continuant, esquissant un large sourire sarcastique) : Mais dites-moi donc lequel est le plus grand des deux?
L'enseignant était heureux. L'élève creusait maintenant dans les concepts. Comme il ne répondait pas à l'élève, ce dernier ajouta :
ÉLÈ : Vous voyez bien que votre système basé sur «+1 et -1 équivalent au neutre» ne fonctionne pas ! Curieusement, l'élève semblait manifester de la déception.
ÉLÈ (continuant) : Après la récupération de l'autre jour, j'ai expliqué plusieurs fois votre système à des copains... jusqu'à ce que mon prof de math le jette par terre avec cette question. Il m'a dit que ce système était bien beau, mais qu'il ne pouvait tout expliquer chez les entiers. «Preuve étant cette notion de plus grand et de plus petit» a-t-il dit.
ENS (rageant intérieurement contre l'enseignant de math de l'élève) : Intéressant.
ÉLÈ : C'était quand même cool, les billes. Mais comme c'est un truc comme un autre...
ENS : Tut, tut, tut. Ce n'est pas un truc!
Puis, prenant une respiration...
ENS : Essayons de creuser un peu plus, veux-tu?
L'élève haussa les épaules.
ENS : Tu te rappelles sans doute que pour comprendre la multiplication chez les entiers, nous avons commencé par explorer ce concept chez les naturels.
ÉLÈ : Oui.
ENS : Bon. Qu'en est-il de l'idée d'ordre de grandeur chez les naturels? Par exemple, comment peut-on dire que 5 est plus grand que 2, par exemple?
ÉLÈ : C'est évident. 5 est plus grand que deux.
ENS : Bien sûr. Mais comment as-tu fait pour le savoir?
ÉLÈ : Bien... si j'ai cinq objets, j'en ai certainement plus que si j'en ai deux! En fait, j'en ai trois de plus !
ENS : Comment ça, trois de plus?
L'élève commençait à trouver très bizarres les pseudo-ignorances du prof.
ÉLÈ : 5 - 2 = 3. C'est tout.
ENS : Donc, tu as soustrait. Es-tu d'accord que pour déterminer si un naturel est plus grand qu'un autre, on doit inconsciemment soustraire?
ÉLÈ : Ouais.
ENS : Mais si tu avais fait 2 - 5...
ÉLÈ (interrompant) : 2 - 5 est impossible chez les Naturels car deux est plus petit que cinq.
ENS : ERREUR !!! Il ne faut pas dire «Puisque deux est plus petit que cinq, alors 2 - 5 est impossible»". Il faut plutôt dire «Puisque 2 - 5 est impossible, alors 2 est plus petit que cinq.»
ÉLÈ : Bof ! C'est la même chose.
ENS (qui voyait ici une belle occasion d'entrer dans un raisonnement logique) : Mais non, ce n'est pas du tout la même chose. Dans le premier cas, tu présupposes que 2 est plus petit que 5 avant d'avoir fait la soustraction. Dans le second cas, on exécute la soustraction et ensuite on conclut que 2 est plus petit que 5. Autrement dit, pour déterminer lequel de deux nombres est supérieur ou inférieur à l'autre, on doit d'abord effectuer une soustraction. Je résume ainsi...
Et l'enseignant prit une feuille de papier et poursuivit son explication :

Supposons deux nombres naturels (on va les appeler nombre_1 et nombre_2 pour la cause.)
En les soustrayant, trois choses peuvent se produire :
1) nombre_1 - nombre_2 donne quelque chose.
ÉLÈ (interrompant) Ouais, c'est le cas si nombre_1 est plus grand que le second.
ENS : En effet, si nombre_1 - nombre_2 donne quelque chose, alors on définit le premier nombre comme étant plus grand que le second. Prenons le second cas. Si nombre_1 - nombre_2 est impossible alors on définit le premier nombre comme étant plus petit que le second. Le troisième cas représente l'égalité : Si nombre_1 - nombre_2 donne 0, alors on dira que les deux nombres sont égaux.
ÉLÈ : N'est-ce pas un peu tortueux tout ça?
ENS : Notre esprit est en effet tortueux. Un des aspects intéressants dans les maths est d'arriver à dénouer tout ça. Tout ce que j'essaie de te dire ici, c'est que pour développer la notion de grandeur chez les nombres, on doit d'abord s'appuyer sur le concept de la soustraction de ces nombres. C'est tout.
ÉLÈ : Hum... Dans le fond, ce que vous voulez me dire, c'est que pour connaître la relation de grandeur entre -5 et +4 par exemple, on devrait d'abord les soustraire.
ENS (très fier de son coup) Exactement !!!
ÉLÈ : Ouais, mais chez les entiers, la soustraction donne toujours quelque chose. Par exemple : -5 - +4 donne -9 (neuf billes noires) et +4 - -5 donne +9 (neuf billes blanches). Je ne suis pas très avancé...
ENS (très, très heureux) : Au contraire ! Reprenons un peu le raisonnement que nous avons fait chez les naturels. Supposons deux nombres ENTIERS et appelons-les entier_1 et entier_2. Effectuons une soustraction, juste pour voir.
ÉLÈ : Mais on ne sait pas la valeurs des entiers....
ENS (se retenant de parler d'algèbre). Effectivement, mais tu verras que ce n'est pas très important. Soustrayons tout de même.
entier_1 - entier_2.
ÉLÈ : ???
ENS : Quelles sortes de réponses peut-on avoir?
ÉLÈ : Mais je le répète, on ne sait pas!
ENS (patient) : Tu sais, je ne veux pas la réponse, mais la sorte de réponse.
L'élève réfléchissait et comprenait sans doute mal la question.
ENS (voulant faire le rapprochement avec le même raisonnement appliqué plus haut chez les naturels). Tu te rappelles, chez les Naturels non plus on ne savait pas la réponse, mais on pouvait dire si la réponse existait, était impossible ou valait 0. Peut-on faire le même type de constat chez les entiers?
ÉLÈ : La réponse est toujours possible chez les entiers.
ENS : Oui, bien sûr, mais n'y a-t-il pas des catégories de réponses?
ÉLÈ :???
ENS (se sentant obligé de donner un petit coup de pouce). Es-tu d'accord pour dire qu'après la soustraction, il est très possible que le résultat soit des billes blanches, des billes noires ou l'état neutre.
ÉLÈ (éclairé) : Oui, oui, bien sûr.
ENS : C'est là-dessus que les mathématiciens se sont basés pour DÉFINIR l'ordre de grandeur chez les entiers. Très arbitrairement, ils ont défini que
  • si le résultat de la soustraction est une bille blanche (un nombre positif) alors on définit le premier nombre comme étant plus grand que le second.
  • si le résultat de la soustraction est une bille noire (un nombre négatif) alors on défit le premier nombre comme étant plus petit que le second.
  • si le résultat est l'état neutre, alors on définit les deux nombres comme étant égaux.
Par exemple, -10 est plus petit que -2 car le résultat de -10 - -2 est négatif. Par contre -10 est plus grand que -20 car -10 - -20 donne un positif.
L'élève hochait la tête.
ENS : Cette convention en fait n'est pas totalement illogique. Par exemple, chez les naturels, 5 est plus grand que 4. Il est bon de retrouver à peu près cette même idée chez les entiers, c'est-à-dire que +5 soit plus grand que +4. Mais pour que cela soit logique, il faut définir que s'il reste des entiers positifs alors le premier nombre est plus grand que le second.
ÉLÈ : Donc, tout est une question de définition?
ENS : Une définition à laquelle tout le monde adhère. On pourrait très bien faire des mathématiques en définissant qu'un nombre est plus grand qu'un autre si le résultat de la soustraction est un négatif. Ce qui est important de comprendre ici est qu'une définition de l'ordre de grandeur ne peut faire du sens que si tu comprends bien au préalable le concept de soustraction. On soustrait et ensuite on définit selon le style de la réponse...
L'enseignant continua.
ENS : C'est ainsi que l'on peut ordonner tous les entiers les uns par rapport aux autres. Dans ton exemple du début, si on compare +5 avec -4 on doit les soustraire. Si on fait +5 - -4, on obtient des billes blanches, donc +5 est plus grand que -4. Par contre, si on fait -4 - +5, on aura des billes noires, donc, -4 est plus petit que +5.
L'élève semblait satisfait de l'explication.
ÉLÈ (en souriant) : Je vais parler de ça avec mon prof de maths...


Notes pédagogiques

Je crois que tous les auteurs qui abordent en entrée de jeu la notion des entiers en les déposant, bien en ordre, sur une droite numérique font une énorme bourde pédagogique. L'élève qui est confronté à cette vision n'y voit qu'un autre modèle arbitraire qui sort d'on ne sait trop où. Comme mon texte le suggère, il faut aborder la notion d'ordre après que le concept de soustraction ait été bien placé.
La droite numérique n'est ensuite qu'un modèle permettant d'illustrer l'ordre chez les entiers. On la définit ainsi : si un nombre est plus grand qu'un autre, il doit être positionné à la droite de l'autre. Si un nombre est plus petit qu'un autre, il doit être positionné à la gauche de cet autre. Je crois qu'il faut amener les élèves à construire eux-mêmes cette droite. Je suggère de poser au tableau une ligne horizontale. Ensuite, on peut donner aux élèves de la classe un entier qu'ils devront positionner à tour de rôle sur cette droite commune.
Supposons que le premier élève ait un +5. Il se lève et le place à quelque part (peu importe où) sur la droite. Le second élève a -2. Il doit décider s'il le positionne à gauche ou à droite de +5. Ce qui pourrait donner :
Le troisième élève qui a +3 à positionner doit le comparer à +5 (va à sa gauche) et à -2 (va à sa droite).
Ensuite, -9 doit être positionné à la gauche des trois nombres déjà placés.

Par la suite, on pourrait avoir quelque chose comme :

Notez la non-importance qui est accordée à la distance entre les entiers. Notez aussi qu'on n'a pas pris la peine de poser d'abord le 0 (zéro) sur la droite. Toute l'importance est mise sur l'ordre. On pourrait en profiter pour demander aux élèves s'ils croient qu'il puisse exister quelque chose entre les deux entiers du genre +3 et +4. Ils devraient justifier leur réponse. Et sans doute parviendront-ils à une définition d'entiers consécutifs. Cette définition vaut son pesant d'or, car je rappelle qu'il n'existe pas, par exemple deux rationnels consécutifs ou deux rééls consécutifs. La «consécutivité» est une notion très riche que le cerveau humain tente d'appliquer à plusieurs situations et mérite qu'on s'y attarde un peu avec les élèves. On pourrait aussi aborder la notion du vide (il n'existe RIEN entre -2 et -3 chez les entiers) et faire un lien avec les sauts quantiques. On pourrait aussi explorer les concepts de continuité et de discontinuité (le continu et le discret).
Cette simple idée (poser en ordre les entiers sur une droite) est tellement banalisée dans les manuels scolaires qu'on a tout oublié de sa profondeur.

dimanche 1 mai 2005

1 = -1

Vous voulez jouer un bon tour à votre enseignant de mathématique? Soumettez-lui ce petit paradoxe en commençant d'abord par lui demander s'il est bien d'accord avec les lois des exposants :

Extrait de la page 148 de l'excellent
Basic Concept of Elementary Mathematics de Schaaf.
Ces 6 lois se retrouvent dans
tous les bons manuels de mathématique.


Preuve n°1


Explications :

Ligne 1 : Évidemment, puisque 1 est bien égal à la branche positive de racine carrée de 1.

Nous allons maintenant manipuler le membre de droite.

Ligne 2 : Puisque -1 x -1 =1, on peut faire la substitution sous le radical.

Ligne 3 : On utilise la loi des exposants : am · an = (a)m+n. Ici, a vaut -1, m vaut 1 (car c'est l'exposant de -1) et n vaut 1.

Ligne 4 : Le passage de la ligne 3 à la ligne 4 demande un peu de culture mathématique (4e secondaire, je crois). Évidemment, vous n'êtes pas obligés de me croire. Ouvrez n'importe quel ouvrage de maths au chapitre des exposants, et vous trouverez facilement les lois des exposants. Dans le livre de Schaaf, page 148 illustrée plus haut, il s'agit de la loi VI qui permet d'écrire cette ligne.

Ligne 5 : Car 2/2 donne bien 1.

Ligne 6 : et -11 est évidemment égal à -1. CQFD !!!

Je suppose que vous ne croyez toujours pas que 1 = -1. Puisque souvent il vaut mieux deux preuves plutôt qu'une, en voici une deuxième :

Preuve n°2

Supposons a un nombre naturel quelconque différent de 0.
-1=(-1)1=(-1)(2a)/(2a)=(voir la loi V)=((-1)2a)1/(2a)=(1)1/(2a)=1
Donc -1 = 1. CQFD.

Explication sommaire de la preuve n°2 au cas où vous douteriez (!!!) de mes capacités mathématiques :
L'endroit où j'écris ((-1)(2a))1/(2a)=(1)1/(2a) est rigoureusement vraie car 2a est nécessairement un nombre pair, et (-1)un pair est nécessairement égal à 1.
Le dernier passage est aussi vrai car tout prof de math vous dira que 1 exposant n'importe quoi donne nécessairement 1.