Jobineries

Blogue de Gilles G. Jobin, Gatineau, Québec.

lundi 22 avril 2013

De toutes les Paroisses, page 231

Nos invités trouvent leur compte dans ce que nous leur offrons, la maîtresse de maison dans ce qu'elle observe.

Le calme est la préface de l'indifférence.

L'emballement, c'est l'effervescence du goût.

Si quelqu'un fait ton éloge avec opiniâtreté, cherche, cherche encore ce qu'il te veut.

Un nid, c'est le secret à plusieurs.

Quand on aime à parler on parle toujours trop.

On se lasserait aussi de la jeunesse, si elle nous en donnait le temps.

Anne Barratin, De toutes les Paroisses, Ed. Lemerre, Paris, 1913

Encore les entiers

Les nombres entiers, pédagogiquement et didactiquement, me fascinent.

Mon approche (bille blanche et bille noire = neutre) est, je crois, la meilleure qu'on puisse prendre pour amener les enfants à comprendre cet ensemble de nombres.

Il existe au moins une autre approche très intéressante. Cette dernière n'est absolument pas pertinente pour introduire la notion aux enfants. Mais si j'avais à donner un cours en didactique mathématique à de futurs enseignants du primaire et du secondaire, il est certain que j'examinerais avec eux cette « vision » des entiers. Elle représente, à mon avis, toute la beauté et la force d'une notation symbolique efficace et rigoureuse. On peut aussi revisiter des notions intéressantes telles que les opérations élémentaires, les preuves mathématiques, les propriétés des opérations, le concept de nombre, etc.

Définition

Un nombre entier se définit à l'aide d'un couple de nombres naturels. On symbolisera ce couple ainsi :

a~b qu'on prononce « a tilde b » et qui signifie : le nombre qu'il faut ajouter à «b» pour obtenir «a».

Prendre le temps de bien comprendre une définition est nécessaire. Voici deux exemples :

5~2 est le nombre qu'il faut ajouter à 2 pour obtenir 5. Tout le monde comprend ici qu'il s'agit, dans l'écriture traditionnele des entiers, du nombre +3.

2~5 est le nombre qu'il faut ajouter à 5 pour obtenir 2. Encore une fois, dans l'écriture traditionnelle des entiers, on comprend que c'est -3.

Remarquons que 5 tilde 2 peut quasiment être assimilé à 5 moins 2. J'ai choisi ~ (tilde) car il ressemble un peu au - (opération moins ou soutraction). Pourquoi alors n'avoir pas tout simplement choisi le symbole moins au lieu du symbole tilde? Voilà une question très importante et qu'il faut absolument adressée avec de futurs enseignants. C'est pour ne pas créer de la confusion les élèves. Le MOINS représente l'opération SOUSTRACTION. Le a~b représente l'IDÉE D'UN NOMBRE.

Pour bien saisir la nuance, voyez par exemple 3/4. Ici, tout le monde comprend qu'il s'agit de la FRACTION trois quart. Et non pas de 3 «divisé par» 4.

D'ailleurs, chose intéressante, on pourra aussi répondre à ceux qui nous accuseraient de nous enfarger dans les fleurs du tapis en définissant bizarrement un nouveau nombre à partir d'un couple. À quoi je répondrai que les fractions sont un bel exemple de nouveaux nombres qui s'écrivent symboliquement à partir de deux nombres naturels. Ce concept fait partie des idées puissantes en mathématiques.

Convention

a) Si, dans l'expression a~b, b<a alors on dira que a~b est un entier positif.
b) Si, dans l'expression a~b, a<b alors on dira que a~b est un entier négatif.
c) Si, dans l'expression a~b, b=a alors on dira que a~b est un entier neutre.

Cette convention se veut tout simplement cohérente avec notre intuition.

6~2 est le nombre qu'on doit ajouter à 2 pour obtenir 6. C'est donc 4 (ou positif 4 ou +4) ;
2~6 est le nombre qu'on doit ajouter à 6 pour obtenir 2. Intuitivement, on comprend que c'est un manque ; ce qui traditionnellement se traduit par négatif 4 ou -4 ;
2~2 est intuitivement 0, soit le neutre car on ne doit rien ajouter à 2 pour obtenir 2.

L'égalité chez les entiers

Comment déterminer si deux entiers sont égaux ?

Par exemple : 7~4 est-il égal à 11~8? Intuitivement, on comprend que c'est bien le cas car le nombre qu'il faut ajouter à 4 pour obtenir 7 est bien égal au nombre qu'il faut ajouter à 8 pour obtenir 11.

On peut alors découvrir une règle pour vérifier l'égalité ou non de deux entiers.

Règle d'égalité

a~b = c~d si et seulement si a+d = b+c.
(Autre belle occasion d'apprentissage : que signifie « si et seulement si » ?)

Quelques exemples permettent de voir le bien-fondé de cette règle :

7~11 = 2~6 (Graphie traditionnelle : -4)
Ici 7+6 = 11+2.

On peut faire le rapprochement avec ce que nous connaissons déjà au regard des fractions qui possèdent aussi une semblable règle d'équivalence :
a/b = c/d si et seulement si ad = bc.


Pour ceux qui connaissent ma définition des entiers, on peut décrire le couple a~b ainsi : Un ensemble contenant a billes blanches et b billes noires. (Dans ma définition - voir par exemple ici -  rappelez-vous qu'une bille blanche neutralise une bille noire.) Ce qui est intéressant avec l'idée du couple, c'est que tout nombre entier est équivalent à une quantité de billes blanches ET une quantité de billes noires. Par exemple, un ensemble de 4 billes blanches et 8 billes noires est ENTIÈREMENT équivalent à un ensemble auquel on aurait ajouté une égale quantité de billes blanches et noires car cette dernière opération revient à ajouter le neutre (zéro).

L'opération addition

Tentons maintenant de définir l'addition à l'aide de notre notation.

a~b + c~d = ???

Rappelons-nous que

a~b est ce qu'il faut ajouter à b pour obtenir a
et
c~d est ce qu'il faut ajouter à d pour obtenir c.

Donc a~b + c~d doit représenter la somme de deux ajouts. En y pensant un peu, on peut voir que cette somme est ce qu'il faut ajouter à b+d pour obtenir a+c.

Dans mon explication billes blanches billes noires, cela correspond à mettre les blanches «ensemble» et mettre les noirs «ensemble».

Quelques exemples vous convaincrons de la pertinence de cette définition.

Ex. 1 : 12~5 + 4~1 = (12+4)~(5+1) = 16~6
(Trad : +7 + +3 = +10 = ce qu'il faut donner à 6 pour obtenir 16.)

Ex. 2 : 4~3 + 2~5 = (4+2)~(3+5) = 6~8
(Trad : 1 + -3 = -2 = Ce qu'il faut donner à 8 pour obtenir 6.)

L'opération soustraction

Pour définir la soustraction, nous n'utiliserons que des concepts déjà connus. Mais attachez vos tuques, vous allez tripper fort!

Par définition, soustraire c~d de a~b consiste à trouver (s'il existe) un nombre m~n tel que :

a~b = c~d + m~n.

(Relisez plusieurs fois les deux dernières lignes pour être bien convaincu.)

Comme on connaît déjà la définition de l'addition, on a :

a~b = (c+m)~(d+n)

En retournant à la définition d'égalité chez les entiers, on a donc :

a+d+n = b+c+m.

Cette dernière équation est vraie si

m=a+d et n=b+c

En substituant le tout dans l'équation de départ, on a :

a~b = c~d + (a+d)~(b+c)

ou

a~b - c~d = (a+d)~(b+c)

Cette dernière équation nous permet de constater que la soustraction est toujours possible chez les entiers puisque a+d et b+c existent en tout temps chez les nombres naturels ! Ce constat montre encore toute la beauté de la définition des entiers à l'aide d'une paire de nombres naturels.

Voyons quelques exemples :

Ex. 1 : 12~5 - 4~1 = (12+1)~(5+4) = 13~9
(Traduction : +7 - +3 = +4 = ce qu'il faut donner à 9 pour obtenir 13.)

Ex. 2 : 4~3 + 2~5 = (4+5)~(3+2) = 9~5
(Traduction : 1 - -3 = +4 = Ce qu'il faut donner à 5 pour obtenir 9.)

Ex. 3 : 7~10 - 5~2 = (7+2)~(10+5) = 9~15
(Traduction : -3 - +3 = -6 = Ce qu'il faut donner à 15 pour obtenir 9.)

Quand j'aurai le temps et le goût, je rédigerai un billet à propos de la multiplication, de la division et de la relation d'ordre à partir de la définition donnée ici. En attendant, vos commentaires sont bienvenus.
Ce billet est largement inspiré par : William Leonard Schaaf, Basic concepts of elementary mathematics, p.178 et suiv., 1969

2013.16

L'amitié

Mon ami Pierre L. était de passage dans la région mercredi. Gros souper au LaLa Bistro. La discussion fut intense. Que voulez-vous ? il faut bien les brasser, ces animateurs RÉCIT !

Pierre est du genre optimiste : il pense vraiment qu'il y a eu amélioration en ce qui concerne l'intégration des TIC dans la province. Je considère plutôt ces améliorations comme anecdotiques et peu significatives.

Curieusement, le lendemain, en faisant un peu de ménage dans mon bureau, je suis tombé sur un projet que j'avais rédigé en 1983. La seule pensée qui me venait en le relisant était qu'on n'avait vraiment pas bougé beaucoup en éducation en 30 ans. C'est exactement la même impression que j'ai envers l'intégration des TIC.

La simplicité des politiciens

"Sans préconiser le retour des cours d’économies familiales dans les écoles, la Coalition Poids propose que des notions alimentaires et culinaires soient de nouveau enseignées dans les écoles. «Réintroduire le cours d’économie familiale serait extrêmement coûteux, a indiqué mardi la directrice de la Coalition Poids, Suzie Pellerin. On parle de 30, 40 ou même 50M$ selon la formule choisie.» Pour éviter que la facture soit exorbitante, la Coalition Poids suggère d’inclure des ateliers culinaires dans les activités parascolaires ou même dans celles offertes dans les services de garde. La Tablée des chefs, les Ateliers cinq épices et les Jeunes Pousses le font déjà dans certaines écoles. Les enseignants pourraient aussi être mis à contribution en montrant, par exemple, aux jeunes comment décortiquer une recette, augmenter le nombre de portions ou même jardiner." lit-on dans un article de Marie-Ève Shaffer du journal Métro.

Je suggère plutôt à tous les membres de la CAQ de prendre quelques heures par semaine pour «bénévoler» dans l'école de leur quartier. Il serait bien beau de voir cette belle gang agir au lieu de dire aux autres quoi, quand et comment enseigner.

Tiré du blogue Constructing Modern Knowledge

« In the same paper, Solomon and Papert made a plea for 1:1 computing nearly twenty years before the first school in the world provided a personal computer for every student.
…Only inertia and prejudice, not economics or lack of good educational ideas stand in the way of providing every child in the world with the kinds of experience of which we have tried to give you some glimpses. If every child were to be given access to a computer, computers would be cheap enough for every child to be given access to a computer. (Papert & Solomon, 1971) »

Trouvés sur ou grâce à Twitter










Quand je lis ce genre d'article, je ne peux que constater que notre planète a un foutu problème !

Échecs

Début du Championnat de l'Outaouais. Je suis le plus haut coté de la section Réserve. Je n'ai pu faire mieux qu'une nulle mardi. Si vous rejouez ma partie, vous verrez qu'à un moment donné, un gain facile m'a complètement échappé.

Plusieurs gros tournois sur la scène internationale. D'abord le Grand Prix de Zug, puis le Mémorial Alekhine. Quel plaisir que de suivre ces parties en direct !