Défi à Découverte

Par Gilles Jobin, mardi 13 septembre 2005 :: Mathématiqueries :: #263 :: rss

Il est rare qu'on entende parler des mathématiques au primaire à la télé. Dimanche dernier, on a eu droit à un petit 15 minutes avec M. Robert Lyons. Ce dernier a illustré que les enfants étaient capables de factoriser des trinômes. Je reviens sur ce problème car il cache selon moi d'énormes pièges. Comme on ne voyait pas la fin de la leçon de M. Lyons, il est difficile de porter un jugement sur l'efficacité de celle-ci.

Le problème

Les enfants devaient factoriser 6x² + 5xy + y².

Au tableau, on voyait 6 carrés, 5 bâtonnets et un petit cube. L'enseignant demandait aux élèves de faire un «plancher» rectangulaire et sans trou avec ces formes. (Désolé pour mon illustration : j'ai fait ça rapidement avec OpenOffice Draw.)

Après quelques essais, tous arrivaient à un résultat pouvant se traduire par «la réponse» (3x + y)(2x + y).

Clairement, le carré représentait le x·x. Le bâtonnet : x·y et M. Lyons avait choisi le cube comme représentant y². Mais le plus dangereux est que cette représentation est ... incohérente : Pourquoi un cube pour représenter un carré ??? Je n'ai entendu aucun enfant poser la question. Il est vrai que pour la durée du reportage, ils ont certainement dû couper plusieurs interventions des élèves ce qui est bien dommage. En tout cas, j'aurais bien aimé entendre la réponse de M. Lyons.

Autre question. Pourquoi prendre un carré (physique) pour représenter x² ? Tout le monde répondra par l'évidence même que x·x PEUT être représenté par un carré. Ah oui? En fait, un NOMBRE naturel carré peut être FIGURÉ (on appelle d'ailleurs cela un nombre figuré) sous une forme carrée. Par exemple, 16 est un nombre carré.

Il y aussi des nombres triangulaires (1, 3, 6, 10, etc.), pentagonaux, etc. desquels on peut trouver d'intéressantes propriétés.

Clairement on peut représenter x² sous la forme d'un carré si on sait que x fait partie de l'ensemble des réels positifs non transcendants (par exemple pi² ne peut pas se réprésenter sous forme d'un carré de pi sur pi car pi est transcendant.). Or, pour bien faire les choses, l'algèbre étant d'abord une généralisation utile, dans le trinôme de départ, x et y sont des nombres RÉELS (généralisation utile) et, donc, peuvent être entre autres négatifs ou transcendants. Quel sens aura alors ce carré physique si x est négatif? Et la factorisation est-elle toujours possible dans les cas où x ou y sont transcendants? L'image mentale d'un carré risque ici de nous amener une conclusion qui pourrait être fausse pour TOUS les nombres. D'accord, ce n'est pas le cas ici, mais il reste que cette image ne peut être utilisée comme preuve. Cette vision donne de la plausibilité à la réponse mais n'est en aucun point algébriquement et mathématiquement rigoureuse. La manipulation peut servir de support au raisonnement, mais elle ne le remplace pas. Encore une fois, le reportage ne montrait nulle part les questionnements soulevés par les élèves. L'objectivation était aussi absente du montage.

Par ailleurs, la traduction d'un nombre carré en surface peut aussi poser problème. 16 peut prendre la forme d'un carré, mais on ne parlera certainement pas ici de surface ! Or, le plancher, c'est d'abord une surface. Mais j'ai déjà parlé de ce piège dans un autre billet.

L'idée de factoriser «physiquement» est riche et vraiment intéressante. On voit la solution apparaître sous nos yeux et on a l'impression que l'algèbre, c'est pas si compliqué après tout. Mais pour ne pas créer de fausses représentations dans l'esprit des élèves, il faut porter énormément attention sur ce que les enfants ont réellement compris. Et s'assurer que malgré la simplicité de l'algèbre, l'élève sache bien que ce n'est tout de même pas une matière simpliste.

Trackbacks

1. Le jeudi 15 septembre 2005 à 04:10, de Mario tout de go

Le niveau monte

La blogosphère ne cessera jamais de m’étonner. Je vois de jour en jour, au détour d’un regard furtif sur mon écran, des perles de discussion, des bijoux d’appel à tous et des productions vraiment...

2. Le mercredi 21 septembre 2005 à 06:28, de Guitef

Les habiletés mathématiques seraient innées

L’invraisemblable polémique sur le site de Gilles à propos du mérite de la méthode Défi mathématique oppose à nouveau les tenants de la recherche empirique et les praticiens riches de leur savoir-faire, le fruit de ce que je suis tenté...

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Commentaires

1. Le mercredi 14 septembre 2005 à 00:23, par steve bissonnette

Vos commentaires sont intéressants. Ce qui me trouble dans ce reportage c'est que Lyons mentionne que l'enseignant doit expliquer le moins souvent possible parce que l'enfant devrait inventer les maths (pédagogie de la découverte + ou - guidée ??). L'inefficacité du Discovery Learning a été démontré depuis la fin des années 60 par les travaux d'Ausubel. De plus, Lyons considère l'apprentissage des maths comme un apprentissage naturel au même titre que parler, marcher, etc. Or, les travaux de David Geary indiquent que cette affirmation est fausse ! Pour preuve, les enfants qui sont dans des pays où l'école n'existe pas apprennent à parler et marcher mais pour les maths les apprentissages sont très très rudimentaires, nous sommes loin de la résolution de problème et de l'algèbre. Ces apprentissage s'apprennent par enseignement par l'école. L'émission Découverte a déjà fait un reportage à ce sujet.

Dans le cadre de mon doctorat, j'ai effectué une analyse de contenu des manuels scolaires en français et mathématiques au 1er cycle du primaire dans le but d'identifier les approches pédagogiques proposées. J'ai donc analysé Défi Math et j'avoue que ce matériel me trouble. Les propositions pédagogiques sont très questionnables compte tenu des résultats de recherches sur les stratégies d'enseignement efficace. À commencer par l'entrée par la complexité ! Apprendre du complexe au simple pour des enfants de 6 et 7 ans est au mieux fortement contestable au pire carrément invalidé (voir les travaux de John Anderson, Lyne Reder et Herbert Simon (Prix Nobel). Cette pédagogie favorise les forts au détriment des faibles.

Mon travail de consultant en éducation m'a permis de constater cette situation en discutant avec les enseignants d'une école primaire au Saguenay qui utilie Défi Math en avril dernier.

2. Le mercredi 14 septembre 2005 à 03:33, par Patrick Moisan :: site

Je partage le point de vue didactique de M. Jobin. Je suis d'avis qu'il faut faire très attention aux modèles que l'on propose aux élèves pour ne pas créer une incohérence chez eux au moment de la généralisation du raisonnement. Il faut bien réfléchir à l'image mentale qui sera construite par l'élève (autant cela puise-t-il être possible de le savoir). Je suis moi aussi bien curieux de savoir si un élève a demandé : « Pourquoi un cube ??? ».

Je viens d'ailleurs tout juste d'envoyer un courriel à M. Lyons afin qu'il puisse participer à notre discussion.

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Bonjour M. Lyons,

À la suite de la diffusion du reportage sur les mathématiques au primaire de dimanche dernier à l'émission Découverte, une discussion didactique s'est amorcé sur le carnet web de M. Gilles Jobin : www.gilles-jobin.org/jobi...

Nous aimerions beaucoup que vous vous joigniez à celle-ci dans le but de partager avec nous votre point de vue sur les aspects didactiques soulevés.

Cordialement,

Patrick Moisan

3. Le mercredi 14 septembre 2005 à 15:54, par Robert Lyons :: email :: site

Bonjour les matheux,

Avant de filer pour donner un cours en didactique des maths, je prends quelques minutes afin de répondre à quelques-unes de vos remarques.
Je continuerai à une (ou d'autres) occasion.
D'abord au sujet du cube qui représente un carré et bien, j'avoue d'abord que les autres pièces avaient aussi une épaisseur et que les enfants ont tous compris que seule la surface devait être prise en compte. Je fais cette activité depuis 30 ans et des milliers d'enseignantes l'utilisent. Le problème de l'épaisseur du carré a été soulevé à quelques reprises par des adultes avant de faire l'activité avec des enfants. Jamais en 30 ans, un seul enfant n'a soulevé cette question. Mais ce sont des enfants et ils n'ont pas encore une formation très poussée en maths...

Par ailleurs, j'ai utilisé cette activité avec des élèves en difficulté en secondaire 5 et ... ils ont compris et ont demandé pourquoi ils n'avaient pas appris de cette façon.

Évidemment, cela peut les conduire à des difficultés d'apprentissage plus tard. Lesquelles ? Nous n'en avons pas trouvées à ce jour.

Par contre, cette présentation de la factorisation conduit directement à la découverte de l'algorithme qui permet de factoriser tous les trinômes. De plus, elle permet de découvrir le nombre i. C'est pas si mal, mais là, je sais que je ne vous apprends rien.

Enfin, en ce qui concerne le peu de rendement de l'apprentissage par la découverte, je me dois de m'incliner devant les savantes recherches réalisées à ce sujet. Le problème, c'est que les enfants ne connaissent ni ces recherches ni leurs conclusions. Et, depuis 30 ans, avec de nombreux enseignants du primaire, je les vois réinventer les maths avec une facilité déconcertante. Nous n'avons pas idée de l'impact de l'ignorance des découvertes didactiques sur les enfants, lorsqu'ils apprennent.

J'avoue qu'il y a aussi un autre problème, c'est que nos recherches ont été effectuées dans les classes, avec des élèves et non dans des bibliothèques diverses.

En conséquence, j'implore votre indulgence si mes 30 années de recherches avec des élèves ne m'ont pas permises de mieux me documenter sur les choses établies commes certaines par d'illustres chercheurs.

À la prochaine,

Robert Lyons

4. Le mercredi 14 septembre 2005 à 18:26, par Michel Delord :: email :: site

Je viens de regarder l'émission de TV Canada. Juste une remarque : je fais des activités du type de celles de M. Lyons , parce que je pense qu'elles sont formatrices, mais

- il y a tricherie sur la marchandise lorsqu'il dit ou laisse dire que « les élèves du primaire maîtrisent des concepts d'algèbre ». En fait, M. Lyons nous fait croire que les élèves factorisent 6x² + 5 xy +1 y² en (3x+1y) (2x+1y) alors qu'ils font des manipulations et que c'est LUI qui écrit l'égalité qui est effectivement de l'algèbre. Qu'il y ait un rapport entre les deux, qui faisait d'ailleurs partie des cours de 4eme en France avant 60, est vrai mais on ne peut dire qu'il s'agit d'algèbre. Par contre, ces cours de 4eme se servaient de la «même» méthodologie pour faire effectivement de l'algèbre.

- ce type d'activité n'est donc pas nouveau pour l’école secondaire, pour lequel il était classique. Mais il n’est pas nouveau non plus pour l’enseignement primaire : il est présenté, dés 1895, par exemple par CA Laisant , mathématicien président de la SMF et rédacteur en chef de la première revue internationale de mathématiques, mais sans prétendre qu’il s’agit « véritablement" d’algèbre.

- une des questions difficiles est de comprendre le rôle positif que peuvent jouer ces activités et comment ne pas les penser en opposition d'une progression scolaire « classique » . J'ai essayé de donner une explication trop rapide, il faudra y revenir, aux pages 6 et 7 de l'exposé que j'avais fait au colloque du GRIP à l’ENS d’Ulm en Juin 2004 :
michel.delord.free.fr/med...

Il peut être intéressant de lire la justification de ce type d'activités donnée par Charles-Ange Laisant lui-même dans michel.delord.free.fr/lai... .

J’aurais beaucoup d’autres remarques à faire sur ce sujet mais je souhaiterais, avant cela , pouvoir juger sur pièces et avec une vision plus complète l’ensemble du matériel pédagogique de Défi Mathématique que je ne possède pas.

Cordialement

Michel Delord
Vice-président du GRIP grip.ujf-grenoble.fr/
CA de la Société Mathématique de France
Conseil scientifique du ThirdEducationGroup

PS : En cas de réponse , pourriez-vous la mettre en copie à mon adresse mail

5. Le jeudi 15 septembre 2005 à 07:15, par Patrick Moisan :: site

«En conséquence, j'implore votre indulgence si mes 30 années de recherches avec des élèves ne m'ont pas permises de mieux me documenter sur les choses établies commes certaines par d'illustres chercheurs.»

M. Lyons, il ne faut surtout pas voir une attaque dans nos commentaires. En ce qui me concerne, bien que j'aime me tenir informé de ce qui se fait en recherche didactique, je suis un enseignant de maths du secondaire qui travaille en ce moment sur un projet de maths à l'élémentaire. Pour ce que j'en sais, M. Jobin a enseigné les maths aux adultes et il est en ce moment conseiller pédagogique au RÉCIT. C'est un heureux événement que nous puissions discuter ainsi de didactique des mathématiques. M. Jobin a d'ailleurs à maintes reprises soulevé de riches réflexions didactiques dans ses billets www.gilles-jobin.org/jobi... sur lesquelles je me suis promis éventuellement de revenir pour poursuivre la discussion.

Les tuiles algébriques sont très intéressantes et je ne remets pas en cause leur utilisation. Je crois que chacune des représentations montre un concept sous un angle spécifique et possède ses propres avantages et ses propres désavantages. C'est l’utilisation combinée de différentes représentations qui vient compenser efficacement les désavantages découlant d’une seule représentation. Aucune représentation ne renferme le concept en elle-même. Le concept se trouve dans la globalité de ses représentations. Cela étant dit :

1- La précision à l'effet que x doit faire partie de l'ensemble des réels positifs non transcendants n'invalide pas le recours à ce matériel. Si opportun, une réflexion sur les limites du modèle avec les élèves (je ne parle bien sûr pas ici d'élèves de l'élémentaire), peut devenir fort intéressante pédagogiquement à exploiter.

2- Bien entendu, dans le monde physique du matériel de manipulation, le carré aura une épaisseur. Ceux que cela tracasse peuvent toujours recourir à une simulation de ce genre mathforum.org/mathtools/r... . C'est plutôt l'utilisation d'un cube pour y^2 qui s'avère très surprenante (x^2 étant représenté par un carré de côté x, y^2 devrait être représenté par un carré de côté y).

Je n'ai malheureusement pas eu le temps pour l'instant de lire les textes proposés par M. Delord. Je les commenterai donc ultérieurement.

6. Le jeudi 15 septembre 2005 à 13:20, par Gilles G. Jobin :: email :: site

J'appuie entièrement le commentaire de M. Moisan. Jamais il ne me viendrait à l'esprit d'attaquer la pertinence de l'utilisation des tuiles ou des règlettes trop souvent cachées dans le placard des salles de classe.
Par ailleurs, j'accorde autant d'importance aux questionnements des élèves qu'à leurs non-questionnements. Et à cet égard, il me semble que le fait qu'aucun enfant ne s'intérroge sur la pertinence du "cube" pour représenter un "carré" est inquiétant. Cela peut, je dis bien PEUT, indiquer une non-compréhension, ou une "docilité intellectuelle" malsaine. C'est pourquoi cette non-question de la part des élèves m'inquiète.

7. Le jeudi 15 septembre 2005 à 16:31, par Pierre Lachance :: email :: site

Je ne suis pas un «matheu» mais voici quand même un commentaire à votre très belle/bonne discussion.

Si je prend le modèle atomique (disons celui de Dalton), on peut le représenter par des petites boules. OK c'est très visuel et ça explique des observations expérimentales. Mais je ne peux me permettre de laisser mes élèves croire que les atomes sont des très petites boules. Je dois tenter de faire comprendre aussi ce qu'est un modèle.

J'imagine qu'en math (avec certains concepts comme l'algèbre entre autre) c'est un peu la même chose?

Merci Gilles pour cette discussion, ça m'aide à avancer dans ma compréhension des maths.

8. Le jeudi 15 septembre 2005 à 17:12, par Robert Lyons :: email :: site

Bonjour à tous,

Une des aptitudes fondamentales en mathématiques est la capacité à «faire comme si ...». Lorsque nous travaillons en géométrie, il arrive très souvent que nous réfléchissions à partir de dessins. Ainsi, nous traçons sur une feuille un cube, une pyramide, ... Certes la figure tracée n'est pas un vrai cube, mais nous l'interprétons comme si elle l'était.

Il nous est arrivé de constater que les élèves qui ont de la difficulté à faire comme si sont en difficulté en Maths. Ainsi, si nous remettons aux élèves du primaire des cubes de couleurs différentes (décidément il y a des cubes partout dans ma soupe ...) en leur mentionnant que les cubes rouges représentent une pièce de monnaie sur laquelle figure un castor, les élèves les plus forts mentionnent rapidement qu'il s'agit d'une pièce de 5¢ alors que les plus faibles s'esclaffent et regardent le cube sans comprendre. Si, par la suite, nous disons que le cube bleu représente une pièce de 10¢, les élèves forts ou moyens mentionnent qu'il y a un voilier sur cette pièce. Pendant ce temps, les faibles s'étonnent encore, ne voyant que deux cubes.

Certes, le problème du dallage est plus facile et TOUS les élèves comprennent dès le départ que seule la surface des pièces est considérée. Bref, rapidement, ils «font comme si» les pièces n'avaient aucune épaisseur.

Mais, finalement, l'important dans ce message, et dans celui que j'ai adressé précédemment, est que les recherches sérieuses en enseignement ne peuvent se faire loin des enfants. Je comprends mal les doctorants qui semblent consulter les volumes, les thèses et ceux qui ont vu, essayé ou entendu parler sans consacrer au moins autant de temps à expérimenter avec les enfants.

J'ai été formé à la démarche scientifique en étudiant l'électronique. Chaque leçon théorique était accompagnée d'une série de laboratoires. Je puis vous assurer que lorsque la théorie était contredite par l'expérience en laboratoire, c'est ma compréhension de la théorie qui était questionnée et non le court-circuit provoqué par mon montage. Mon problème, c'était que je devais construire ou réparer des radios ou des téléviseurs et que lorsque je faisais cela pour quelqu'un, je lui remettais le radio et non les leçons théoriques qui propagent peu de musique.

Il me semble qu'il est temps que l'enseignement s'appuie sur des démarches empiriques, que les recherches en ce domaines ressemblent davantage à des recherches en sciences physique qu'en ... philosophie ou en théologie.

En terminant, je signale que la méthode de factorisation que je propose peut servir à factoriser même x² + 1 = 0 où x = +/- i.

Robert Lyons

9. Le jeudi 15 septembre 2005 à 19:30, par Bkouche :: email

je ne pense pas que l'on factorise
x^2 + 1
en découpant des rectangles.
Il y a dans tout cela une volonté "angélique" de faire du simple là où le simple n'apparaît qu'après coup.
Il ne suffit pas de lire le Livre II des Eléments d'Euclide pour inventer le calcul polynomial.
En faitde l'activisme pédagogique, sans plus.
rudolf bkouche
professeur de mathématiques

10. Le jeudi 15 septembre 2005 à 20:58, par Andréanne :: email :: site

Je ne suis pas prof de maths. En fait, j'ai abandonné l'idée d'aimer les mathématiques quand on m'a introduite au calcul différenciel et intégral. J'avais beau me creuser la tête, toutes ces formules qui ne menaient à rien et qui tournaient en rond n'entraient pas, elles n'avaient pas de sens...

L'année suivante, alors que j'avais abandonné l'idée de faire des maths, mon père a découvert un petit logiciel qui permettait de voir, en temps réel, les conséquences de la modification d'une formule sur un graphique. Tout de suite. Comme ça. C'était révolutionnaire. (Ce devait être en 1995-1996) Enfin, on pouvait voir à quoi rimaient ces formules qui ne semblaient avoir aucun sens, on savait ce que faisaient les variables ici et là. C'était tout simple.

Dois-je aussi préciser que mon père m'a expliqué l'algèbre avec des reglettes aussi? Je me souviens de l'avoir vu dessiner des billes blanches et des billes noires sur un bout de papier pour m'expliquer les nombres négatifs et les nombres positifs. "Imagines que les billes noires sont des moins, et que les billes blanches sont des plus..." Des ronds gribouillés, ce ne sont pas des billes, mais pour le bien de la cause, je me prêtais à l'exercice. Et c'est ainsi que j'ai compris.

11. Le vendredi 16 septembre 2005 à 01:55, par Michel Delord :: email :: site

Robert Lyons a dit :

« Mais, finalement, l'important dans ce message, et dans celui que j'ai adressé précédemment, est que les recherches sérieuses en enseignement ne peuvent se faire loin des enfants. »

Il semblerait que je ne sois pas d’accord avec vous bien que je ne sois pas « loin des enfants » puisque j’enseigne à temps complet depuis maintenant 32 ans en collège et leplus souvent en sixième,c'est-à-dire que je suis très souvent obligé de faire des cours de primaire. D’autre part, je connais des enseignants du primaire qui ne sont donc pas « loin des enfants » qui partagent mes opinions et d’autres qui ne les partagent pas , idem pour des personnes qui sont « loin des enfants » . Je cite Laisant , mathématicien qui ne faisait certes pas cours très souvent directement à des élèves du primaire. Mais doit-on en deduire que ses thèses n’étaient pas judicieuses pour l’enseignement « effectif », puisque, par exemple, c’est sur la base de ses idées qu’ont travaillé Francisco Ferrer , instituteur qui avait des élèves avant de se faire exécuter par le très progressiste roi d’Espagne , et Celestin Freinet ( voir les extraits de lettre entre Camescasse et Laisant).

Autrement dit, le critère que vous avancez sur la « proximité des enfants » et que vous considérez comme « principal » me semble tout à fait discutable.

Et d’autant plus discutable qu’il me semble avoir pour fonction d’évacuer le débat sur le contenu et les méthodes d’enseignement puisque vous ne dites rien sur mon affirmation :

« Il y a tricherie sur la marchandise lorsqu'il dit ou laisse dire que « les élèves du primaire maîtrisent des concepts d'algèbre ». En fait, M. Lyons nous fait croire que les élèves factorisent 6x² + 5 xy +1 y² en (3x+1y) (2x+1y) alors qu'ils font des manipulations et que c'est LUI qui écrit l'égalité qui est effectivement de l'algèbre. »

Michel Delord

12. Le vendredi 16 septembre 2005 à 03:28, par steve bissonnette

Il importe de préciser qu'une multitude de recherches empiriques publiées depuis le début des années 70 ont été faites en classe avec des élèves et des profs et non pas en laboratoire dans un contexte artificiel !

La simple consultation du Handbook of research on teaching de 1986, plus particulièrement les synthèses de recherches effectuées par Brophy & Good et Rosenshine & Stevens permet de le constater.

L'ouvrage de Clermont Gauthier et ses collaborateurs «Pour une théorie de la pédagogie» publié à la fin des années 90 représente un autre exemple de synthèse de recherches empiriques.

Le recours à cette littérature et autre du genre permet d'éviter de reproduire des erreurs faites ailleurs, comme l'implantation en Californie de programmes pronant l'entrée par la complexité tel le Whole Language en lecture au primaire et le Discovery Learning au secondaire qui ont engendré des taux d'échecs élevés dans les années 90 et qui ont finalement été mis au rancart !

Tout comme l'élève apprend à partir de ses connaissances antérieures, les recherches empiriques faites en éducation sont une base de connaissances sur laquelle il est possible de s'appuyer pour apprendre et aller plus loin.

13. Le vendredi 16 septembre 2005 à 14:40, par Robert Lyons

Rudolf Bkouche a écrit : «je ne pense pas que l'on factorise
x^2 + 1en découpant des rectangles.
Il y a dans tout cela une volonté "angélique" de faire du simple là où le simple n'apparaît qu'après coup.
.
On fait de l'activisme pédagogique, sans plus.»

Mon cher Rudolph,

Je crois que pour savoir si effectivement une activité d'enseignement est valable, il faut bien la comprendre et comprendre les concepts que cette activité veut développer. Dans le cas présent, il faut évidemment être capable d'illustrer cette factorisation avec des pièces de carton afin de pouvoir en discuter. Si tel n'est pas le cas, on se contente de faire de l'activisme verbal.

Pouvez-vous rassurer tous les lecteurs de ce blog en expliquant comment la factorisation de x² + 1 peut être illustrée avec quelques pièces de carton ou par un dessin. Je suis convaincu que plusieurs seront «aux anges» en lisant votre démonstration.

Robert Lyons

14. Le vendredi 16 septembre 2005 à 15:09, par Robert Lyons

Michel Delord a écrit:
« Il y a tricherie sur la marchandise lorsqu'il dit ou laisse dire que « les élèves du primaire maîtrisent des concepts d'algèbre ». En fait, M. Lyons nous fait croire que les élèves factorisent 6x² + 5 xy +1 y² en (3x+1y) (2x+1y) alors qu'ils font des manipulations et que c'est LUI qui écrit l'égalité qui est effectivement de l'algèbre. »

Je n'avais pas relevé ce commentaire étonnant, mais comme son auteur insiste ...
En fait, j'avoue que c'est moi qui écrivait l'équation, mais, si vous regardez bien l'émission, je n'écrivais que ce que les élèves me dictaient. Ensuite, je demandais aux autres de donner leur opinion sur ce qui avait été écrit.

C'est une conception assez répandue que lorsqu'un élève de 8 ans peut lire et dicter un énoncé, il soit aussi capable de l'écrire. Si je me fie à votre texte, l'algèbre apparaît lorsque l'élève peut écrire une équation. Les élèves vus dans l'émission n'en sont pas loin non ?

En passant, cette distinction entre ce qui est de l'algèbre et ce qui ne l'est pas, c'est-à-dire la capacité à écrire ce qu'on peut lire et dicter me semble vraiment originale.

Je termine en mentionnant que j'ai utilisé cette stratégie souvent afin d'aider des élèves du secondaire à comprendre la factorisation. Ont-ils appris ainsi l'algèbre ? Peut-être pas! Mais si je considère que, par la suite, ils ont réussi, là où ils échouaient lamentablement avant l'activité, si je considère qu'ils ont obtenu par la suite d'excellentes notes dans les examens portant sur cette partie du programme, je me dis que si ce n'était pas de l'algèbre, cette activité les a conduit au succès malgré tout.
Le succès obtenu était peut-être injustifié et les profs qui ont corrigé leurs copies n'y ont peut-être vu que du feu. Mais alors, est-il possible que les bonnes réponses obtenues par les autres élèves n'aient pas été plus valables ? Bref comment repérer les «tricheries sur la marchandise» ?

Robert Lyons

15. Le vendredi 16 septembre 2005 à 15:17, par Robert Lyons

Steve Bissonnette a écrit :
«Tout comme l'élève apprend à partir de ses connaissances antérieures, les recherches empiriques faites en éducation sont une base de connaissances sur laquelle il est possible de s'appuyer pour apprendre et aller plus loin.»

Mon cher Steve,
Je trouve vos réflexions passionnantes. Elles me rappellent celles que tenaient, il y a plusieurs années les fonctionnaires responsables de l'approbation des manuels scolaires au Québec. Par exemple ces discussions durant lesquelles ils devaient décider du sexe des anges et du Père Noel. Personnellement, j'appréciais qu'ils consacrent leur temps à de telles discussions plutôt que de réfléchir sur l'enseignement et ainsi risquer d'émettre des directives nuisibles aux élèves.

En passant, au sujet des connaissances antérieures, pouvez-vous identifier celles sur lesquelles s'appuie l'enfant qui acquière sa toute première connaissance ?

Je crois sérieusement que vous devriez consacrer beaucoup de temps à cette réflexion.

Robert Lyons

16. Le vendredi 16 septembre 2005 à 15:39, par Bkouche :: email

Ne me retournez pas la question.
Si vous avez une construction par découpage de rectangles de la factorisation de x^2 + 1, exposez la et on pourra en discuter.
Cette façon d'affirmer que l'on sait faire quelques chose sans le faire est insupportable. Vous jouez à quoi ? au petit savant. Cela n'impressionne personne. Àlors expliquez-nous comment vous faites et l'on pourra discuter.
Quant à moi, qui ais le tort de connaître un peu de mathématiques, je ne peux imaginer que l'on découvre i en découpant des triangles.
rudolf bkouche

17. Le vendredi 16 septembre 2005 à 21:27, par Robert Lyons

Cher Rudolph,

Nous sommes d'accord, déclarer qu'une activité est de l'activisme pédagogique sans la connaître fait «petit savant», est insupportable et n'impressionne personne.
Pour que vous puissiez donc en parler en connaissance de cause, je vous invite sur DefiMath où vous trouverez réponse à ... ma question.

Robert Lyons

18. Le vendredi 16 septembre 2005 à 21:46, par Gilles G. Jobin :: email :: site

Merci M. Lyons pour votre démonstration.

Ah ! si j'avais un peu plus de compétences en java, j'essaierais d'illustrer dynamiquement le tout un peu comme on le trouve ici :
argyll.epsb.ca/jreed/math...
en Flash.

Mais avec un bon logiciel de géométrie dynamique, sans doute pourrait-on aussi le faire !

19. Le samedi 17 septembre 2005 à 03:23, par Geneviève :: email

Bonjour,
J'ai utilisé, de la première année à la sixième, les manuels Défi Mathématique. J'ai aujourd'hui 25 ans et je me souviens encore avec quel enthousiasme nous (tous les élèves de mes classes) apprenions et comprenions. Je crois que les meilleures réponses sur la qualité de la méthode Lyons se trouvent auprès d'anciens élèves, comme moi.Vive les centicubes! et l'image mathématique.
Bravo M. Lyons!

Geneviève Gosselin

20. Le samedi 17 septembre 2005 à 14:44, par steve bissonnette

Cher monsieur Lyons,

Merci de m'éclairer sur les recherches en éducation.

21. Le samedi 17 septembre 2005 à 17:59, par Normand Péladeau :: email

Monsieur Lyons,

Vous prétendez avoir été formé à la démarche scientifique mais semblez en faire fi totalement lorsqu'il s'agit de juger de la valeur des méthodes d'enseignement, y compris la vôtre. Vous semblez même mépriser les recherches en éducation. (Ce qui peut se comprendre compte tenu du fait qu'elles contredisent en partie plusieurs de vos affirmations).

Pouvez-vous me nommer une seule étude réalisée selon les principes de la démarche scientifique (dans le sens le plus large que l'on peut y donner) et ayant démontré la valeur pédagogique de votre approche? J'en ai cherché, mais je n'en ai trouvé aucune.

Pourtant, vous semblez prétendre à une certaine supériorité de votre approche. Devrions-nous adopter votre matériel uniquement sur la foi de votre témoignage, parce que vous avez, selon vos dires, une longue expérience auprès des enfants. Pourtant, comme le souligne monsieur Delord, il y a d'autres enseignants tout aussi près des enfants et qui ont des opinions bien différentes des vôtres. J'ai même rencontré une enseignante avec de nombreuses années d'expériences qui croyait que le réaménagement de sa classe, selon les principes du feng-shui avait amélioré le climat de sa classe et les apprentissages de ses élèves. Qui suis-je moi chercheur pour remettre en question son "expérience"?

Devant toutes ces opinions diverses et contradictoires, qui doit-on croire? La réponse à cette question est en fait fort simple: les enfants. "Children know best". Et à mon avis, les meilleures recherches en éducation nous viennent des efforts de mesurer en toute impartialité et dans un contexte de classe, l'effet des différentes méthodes sur les apprentissages des enfants (connaissances, habiletés, compétences, transfert, etc.).

22. Le samedi 17 septembre 2005 à 23:14, par Benoit St-André :: email :: site

Il me semble que ça dérape un tout petit peu...

Ça serait bien qu'on se recentre sur les aspects didactiques de l'affaire plutôt que de commencer à s'accuser mutuellement et à chercher à trouver justification ou non dans les recherches en éducation.

À ce que je sache, on est pas ici pour juger de la valeur de ces recherches en les dénigrant, ni non plus pour se faire assommer par des sophismes d'appel à l'autorité. Les commentaires allant dans les deux sens dénaturent la discussion grandement il me semble.

23. Le dimanche 18 septembre 2005 à 04:48, par Patrick Moisan :: site

Désolé pour ce long commentaire. Puisque le serveur où je suis hébergé éprouve des problèmes depuis quelque temps (cela devrait se régler sous peu), j'ai dû le placer ici malgré sa longueur.

Entièrement d'accord avec vous M. St-André. Je viens de lire les récents commentaires depuis mon dernier passage et je suis triste de la tournure de la discussion. Alors que j'ai invité M. Lyons au dialogue dans un esprit positif, j'ai bien peur qu'il ait finalement raison de se sentir coincé/attaqué devant la tournure des événements. Moi et Gilles voulions discuter de l'utilisation des tuiles algébriques et comprendre la raison ayant conduit à l'utilisation d'un cube pour représenter y^2 plutôt qu'un « carré » lors du reportage présenté à l'émission Découverte. Voilà cependant que la discussion a été déviée pour parler d'approche pédagogique (pour ne pas dire marteler) dans un climat de quasi-confrontation. Les habitués de nos carnets auront certainement une impression de déjà vue. En effet, cela ne va pas sans rappeler ce qui s'est passé ici : carnets.opossum.ca/mario/... . Avec les réactions que l'on connaît quelque temps plus tard : carnets.opossum.ca/mario/... et carnets.opossum.ca/remoli... . S.v.p., Messieurs, soyez constructifs. Il vous faut aussi apprendre des expériences antérieures ;-)

En ce qui me concerne, comme je l'avais déjà écrit chez Clément carnets.opossum.ca/remoli... , « À mon avis, la recherche doit être vue comme servant à alimenter la réflexion menant à une prise de décision éclairée et non comme une solution miracle ou un argument « massue » pour imposer son point de vue sans dialogue. »

Ceci étant dit, revenons à la discussion initiale de ce billet.

M. Lachance
Lorsque vous dites « Je dois tenter de faire comprendre aussi ce qu'est un modèle. J'imagine qu'en math (avec certains concepts comme l'algèbre entre autres) c'est un peu la même chose? », vous êtes dans le vrai à mon sens. Pour continuer sur votre réflexion en lien avec le modèle atomique, je dirais que tout comme il y a plusieurs modèles atomiques (Dalton, probabiliste, etc.) apportant chacun leur contribution à la compréhension de l'atome selon diverses situations, il y a diverses représentations mathématiques apportant chacune leur « éclairage » sur un concept. Il en est de même si l'on parle, par exemple, du concept de fonction par rapport à la table de valeurs, l'équation ou le graphique d'une situation donnée. Dans le cas des fonctions, on pourrait aussi discuter d'approche opérationnelle ou structurelle (nature dualistique reliée aux fonctions mise de l’avant par Sfard). N'ayez crainte, vous pouvez continuer de lire, je ne vais pas élaborer davantage :-) L'idée à retenir, c'est l'importance de varier les représentations, de varier les points de vues en quelque sorte.

M. Lyons
J'espère que nous aurons la chance de discuter à d'autres reprises d'enseignement des maths sur nos carnets web dans un contexte plus serein et que cette petite aventure ne vous aura pas échaudé. Permettez-moi de revenir sur votre commentaire #8 : « ils « font comme si » les pièces n'avaient aucune épaisseur ». Comme je le disais dans mon commentaire au #5, ce n'est pas tant l'épaisseur des pièces (nous évoluons dans un monde physique) que la différence de représentation entre le x^2 et le y^2. D'où la question initiale, pour quelle raison avoir utilisé un cube pour représenter y^2 ?

Les témoignages d'Andréanne et de Geneviève sont intéressants. En plus de l'importance de se bâtir une image mentale, ils me rappellent un aspect qu'il ne faut pas oublier en tant que pédagogue : le PLAISIR à apprendre. Je vais partager avec vous un de mes objectifs de carrière en tant qu'enseignant de mathématiques : montrer à tous que l'on peut avoir du plaisir à apprendre et à faire des mathématiques. Je tiens à préciser qu' « avoir du plaisir à apprendre et à faire des mathématiques » ne veut pas dire diminuer les exigences mathématiques. Bien au contraire. Question : Peut-on apprendre efficacement quelque chose que l'on déteste? Je ne crois pas. Voici une petite anecdote vécue l'an dernier dans le cadre du projet où je suis en prêt de service. Dans le matériel pédagogique que nous avons rédigé, nous avons inclus plusieurs jeux mathématiques. Les enseignantes qui en ont fait la mise à l'essai n'en revenaient pas. Lors des périodes libres, les élèves voulaient jouer à des jeux mathématiques!!! Ils avaient le choix de faire ce qu'ils voulaient, mais ils décidaient de « jouer aux mathématiques ». Lorsque j'ai demandé aux élèves s'ils aimaient les maths, ils me répondaient oui avec un grand sourire. VICTOIRE !

24. Le dimanche 18 septembre 2005 à 14:56, par Normand Péladeau

Je comprends vos points de vue, mais je tiens cependant à rappeler que le critère ultime du choix d'une activité pédagogique c'est l'apprentissage que fait l'élève. C'est très facile de faire aimer les maths et les jeux sont un excellent moyen pour ça. Ceci dit, est-ce que ces jeux donnent lieu à des apprentissages signifiants et durables? Parfois oui, mais j'ai vu trop souvent des situations ou l'aspect ludique l'emportait sur l'aspect didactique. Ça me rappelle ce reporter d'ABC qui résumait l'impact des des programmes d'apprentissage de la lecture en Californie en disant que, les enfants californiens aimaient la lecture, mais ne savaient pas lire.

À votre question: "Peut-on apprendre efficacement quelque chose que l'on déteste", je répondrais que c'est sûrement possible mais non souhaitable.Cependant, je ne crois pas non plus qu'il soit possible et même souhaitable de vouloir à tout prix transformer la classe en une salle de jeux. Il y a des apprentissages qui exigent des efforts, de la répétition, de la mémorisation. Il y a également des apprentissages qui doivent être faits sans nécessairement qu'il soit possible ou nécessaire que l'élève en saisisse le sens dans l'instant présent. Je dirais que dans bien des ças, on proposera des activités de jeux en assumant à tort que l'apprentissage n'en sera que meilleur. Ce n'est pas impossible, mais le fait que les élèves aiment ces activités ne nous dispense pas de la tâche de le vérifier. Si l'apprentissage est au rendez-vous, excellent. Sinon...

Les anglophones ont une merveilleuse expression pour exprimer cette réalité: "edutainment". Je me souviens d'une séance de cinéma interactif au Centre des Sciences de Montréal où les enfants sortaient en riant ou souriant, parce qu'ils avaient passé un bon moment à tirer sur des cibles sur l'écran et à accumuler des points. En dépit de l'intention pédagogique des auteurs de cette activité, je crains fort que la très grande majorité des élèves n'aient pas appris quoi que ce soit. Mëme s'ils parleront sans doute pendant des jours de cette expérience bien amusante.

Pour toutes ces raisons, je pense qu'il serait plus sage de concevoir l'aspect ludique et l'aspect pédagogique comme deux dimensions orthogonales, plutôt que d'assumer que la première est un prérequis à la deuxième. Si on peut faire une activité avec une valeur pédagogique qui est également distrayante alors tant mieux. Cendendant, entre une activité valable pédagogiquement mais ennuyante, et une activité amusante qui n'est pas efficace pédagogiquement, je crois que l'enseignant a la responsabilité de choisir la première. Les auteurs et éditeurs de matériel pédagogique ont quant à eux la responsabilité de mettre à l'essai le matériel didactique qu'ils proposent et d'être en mesure d'en démontrer l'efficacité pour permettre ainsi aux enseignants de faire un choix éclairé. Je ne crois pas que monsieur Lyons ait fait cette démonstration et qu'il soit réellement intéressé à le faire.

25. Le dimanche 18 septembre 2005 à 17:22, par Gilles G. Jobin :: email :: site

M. Péladeau, vous touchez un point qui, chez moi, est très sensible : l'apprentissage doit-il être «plate»?

Pour moi, si tant de nos concitoyens sont mathophobes , c'est à l'école qu'on le doit.

Je me rappellerai toujours ma fille Andréanne, en cinquième ou sixième année, devant sa feuille de devoir de maths : elle devait faire une vingtaine de divisions selon l'algorithme du prof.

- (en pleurant) Pourquoi dois-je faire ces exercices. J'ai compris l'idée de la division. Tiens regarde...

Et elle me démontrait sa compréhension du concept. Elle «maîtrisait» le concept. On prenait mon enfant pour une machine. J'ai répondu avec un mal au coeur :

- Parce que tu es à l'école, et qu'à l'école, faut faire des exercices. Il y en a qui croit que c'est la bonne manière d'apprendre et qu'ainsi tu solidifies tes apprentissages et tes connaissances.

Pourtant, l'école venait de l'écoeurer à jamais des maths. Elle venait d'attraper une «répugnance tenace», comme le dirait Jean Rostand. J'aurais dû immédiatement la retirer du cours de maths et m'arranger pour que je sois son enseignant. Je ne l'ai pas fait et c'est là l'un de plus grands regrets.

Je ne vois AUCUNE raison de faire faire des tonnes d'exercices aux élèves S’ILS ONT COMPRIS. L'important est l'assimilation des concepts, la possibilité de faire des liens entre eux et la possibilité de bâtir sur ces concepts.

Tous les enseignants que j'ai rencontrés à ma CS qui utilisent le matériel Défi m'ont rapporté la même chose : «Les enfants AIMENT faire des maths.»
Quant à l'aspect «ludique», il est fondamental. Jouer implique le joueur. Et jouer est parfois très très difficile. Je suis expert canadien aux échecs, et laissez-moi vous dire que ce n'est pas parce que c'est un jeu qu'il ne faut pas souffrir pour s'améliorer et aller plus loin dans sa compétence. La différence, c'est qu'on le fait en jouant. Donc, paradoxalement, on «souffre» tout en retirant du plaisir intellectuel. Résoudre un problème logique demande un très grand effort, du temps, de la persévérance et bien d'autres qualités encore. Tant mieux si on peut développer (et souffrir) tout ça en s'amusant.

Laissons les enfants apprendre. Laissons-les rire en tentant de faire ce fameux plancher qui s'assimile à la profonde idée de la factorisation. Laissons-les réfléchir. Le rôle de l'enseignant est d'être là pour reconnaitre l'émergence des concepts dans la tête de ses élèves et de consolider le tout par sa patience pédagogique. Il est là mon point : quand un enfant voit un cube pour représenter un carré, cela risque-t-il de le confondre? Comment l'enseignant s'assure-t-il que l'enfant le voit bel et bien comme un autre carré? Cet aspect est, à mon avis, didactiquement intéressant.

26. Le dimanche 18 septembre 2005 à 17:51, par Mario Asselin :: email :: site

C'est en train de devenir une pièce d'anthologie ce billet. Avant d'ajouter mon grain de sel, j'ai eu besoin de me faire un résumé des 24 premiers commentaires que je vous offre ici, si ça peut intéresser quelqu'un (je l'ai fait pour moi, pour mieux comprendre où j'en étais et ce sur quoi je voulais réagir) : carnets.opossum.ca/mario/... ; ça peut peut-être aider quelqu'un qui entre dans la conversation et qui veut sauver quelques minutes... Aussi, je crois que la lecture de l'intervention de Stéphane Allaire sur ce billet (carnets.ixmedia.com/steph... ) est intéressante pour qui s'intéresse à "la forme" de cette discussion.

D'abord, un mot sur le dernier commentaire de M. Péladeau. Votre dernière phrase est tellement dommage; présumer des intentions de M. Lyons n'aide en rien la construction de sens que nous tentons tous de faire ici, il me semble. Par contre, vous amenez des arguments réellement intéressants quand vous dites qu'«entre une activité valable pédagogiquement mais ennuyante, et une activité amusante qui n'est pas efficace pédagogiquement, je crois que l'enseignant a la responsabilité de choisir la première.» On s'entend donc sur le fait qu'une activité motivante et attrayante peut s'avérer meilleure qu'une autre ennuyante à condition qu'elle ait une valeur pédagogique. Si c'est ce que vous voulez dire, je suis à 100% avec vous. D'ailleurs je crois vraiment qu'il devient extrêmement dangereux de faire des activités ludiques faibles en apprentissage.

Vendre l'idée qu'il y a du plaisir à faire des maths et le faire vivre par une activité où le fait de comprendre crée le plaisir me semble pertinent, vous ne croyez pas ? C'est ce que Patrick voulait dire à mon avis.

Il y a un piège avec le fait de faire «du simple là où le simple n'apparaît qu'après coup» et je rejoints plusieurs intervenants là-dessus. Quand on présente un contenu et que la représentation mentale des apprenants leur fait croire que le concept est simple à saisir et qu'il ne demande pas d'effort, on commence à être "dans le trouble". À l'inverse, complexifier pour rien la démarche en épeurant les élèves n'est pas mieux. Je crois que ce que M. Lyons fait est d'amener l'élève aux frontières de ce qu'il peut saisir facilement en s'assurant qu'il n'en reste pas là. Pour avoir vu (et lu) des élèves et des étudiants apprendre par son approche, j'ai été fasciné de voir comment il les accrochait par le sens qu'il donnait à ce qui apparaissait trop complexe pour être essayé, en terme "de faire l'effort de raisonner pour comprendre". Une fois l'apprenant bien "crocheté", motivé, ayant du plaisir (parce qu'il a conscience d'apprendre) dans le processus, le prof au contact de cette approche ajoute du contenu et fait faire des liens qui font prendre conscience à l'apprenant de l'effort de compréhension qui est nécessaire et qui est À SA PORTÉE pour apprendre davantage.

Personnellement, j'ai appris cela par le jogging. Si on m'avait fait faire une course trop longue ou trop intense les premières fois, je ne suis pas sûr que l'effort démesuré qu'on m'aurait demandé m'aurait porté vers de grandes réalisations. Mais on a attiré mon attention sur le fait que je devais surmonter ma fatigue du départ parce qu'au bout d'une petite lutte (au départ), il y avait une récompense qui faisait que de fois en fois je devenais capable de faire plus d'effort sans que la "brulure dans mon corps" me carbonise. Autrement dit, au bout de l'effort bien dosé, il y a le plaisir de comprendre et d'apprendre; en musique, en écriture comme en mathématique on doit faire vivre tôt dans la démarche des moments d'exaltations qui prouvent à l'apprenant qu'il peut en prendre plus.

Dans un enseignement trop direct, sans régulation des émotions de l'apprenant, on peut facilement décourager et tuer la capacité et la motivation de l'apprenant de faire les efforts qu'il faut pour apprendre. La tâche deviendra trop lourde pour qu'il s'essaye et ça ne fera plus de sens de continuer. Un enfant n'est pas bête. Quand on lui présente un contenu qui le fait se sentir "tarte", il se protège. En ne faisant plus d'effort, en ne surmontant pas sa "brulure" de s'essayer, il a au moins l'excuse de se dire (psychiquement) «j'ai pas réussi parce que j'ai pas écouté, j'ai rien fait et c'est mieux ça qu'avoir essayé et prouvé mon incompétence !» Les stratégies ouvertes dans plusieurs cas (pas toutes et parfois pour peu d'invidus et si elle conduise à de vrais appprentissage de contenus) lancent les apprenants sur le sentier de l'effort et de la compréhension.

La démonstration de M. Lyons par son activité va dans ce sens, il me semble, même si la question de l'utilisation «d'un cube pour représenter y^2 plutôt qu'un carré » ne soit pas règlée.

27. Le dimanche 18 septembre 2005 à 18:58, par Gilles G. Jobin :: email :: site

Sur le forum de l'Association Québécoise pour l'éducation à domicile, il y aussi un fil de discussion relié à la présentation de M. Lyons à Découverte. C'est ici :
www.aqed.qc.ca/modules.ph...

28. Le dimanche 18 septembre 2005 à 20:23, par Normand Peladeau

Je suis effectivement bien d'accord avec vous monsieur Asselin sur le fait qu'à efficacité égale, une activité motivante et attrayante est bien préférable. Je suis même d'accord pour dire qu'une activité de découverte qui se solde par une bonne compréhension et beaucoup de plaisir est quelque chose que l'on doit conserver et reprendre. Cependant, dans toute activité complexe, on constate qu'il y a certains élèves qui ne parviennent pas à saisir le concept à apprendre. Ce sont ces élèves qui m'intéressent. Pourquoi échouent-ils? Qui sont-ils? Lorsqu'on examine ces questions, on arrive inexorablement à la conclusion que ce sont les meilleurs élèves qui réussissent, qui arrivent à saisir les éléments nécessaires à la résolution du problème. Ce sont les plus faibles qui échouent. Lorsqu'on creuse un peu plus en détail, on constate que ces élèves ayant échoué n'avaient pas acquis les connaissances et habiletés élémentaires nécessaires pour réaliser ce problème plus complexe.

Si me peut me permettre un témoignage personnel, ma première expérience d'enseignement fut très traumatisante. J'ai enseigné le cours de méthodes quantitatives dans un CÉGEP. Le tiers de mes élèves ont échoué le cours. Tout aillait bien au début, mais c'est lorsque j'ai abordé la question des tests d'hypothèses et des calculs de probabilité que les écarts sont apparus et que l'hécatombe est survenue. J'ai appris par la suite que ce taux d'échec était tout à fait dans les normes puisqu'il s'établit à la grandeur du Québec à environ 35% (environ 40% au CEGEP où j'ai enseigné pour la première fois). Cela ne m'a pas dû tout consolé je m'étais promis, si jamais je devais redonner le cours, de tout faire pour que plus d'élèves réussissent.

J'ai eu l'opportunité de redonner un cours très semblable à des étudiants universitaires. Même s'il s'agit d'étudiants universitaires, ils éprouvent des difficultés importantes aux mêmes endroits. Voici comment j'ai abordé le problème du calcul des probabilités aux fins de tests d'hypothèse. J'ai décomposé la tâche de résolution de problèmes en 7 ou 8 sous-habiletés devant être enchaînées dans un ordre bien précis pour être réussies (calcul de l'écart entre deux moyennes, transformation en z, utilisation d'une table de distribution normale, etc.). J'ai également identifié une dizaine de connaissances prérequises. J'ai développé une banque informatisée de questions qui portaient sur soit des habiletés isolées, soit de courtes chaînes de deux, parfois trois sous-habiletés. En fait, la banque de questions portait sur l'ensemble du cours. À chaque année, je révisais ces questions et constatais que le niveau de compréhension des élèves augmentait d'une cohorte à l'autre. C'est à ce moment que j'ai décidé qu'il était temps d'expérimenter ma méthode dans des classes de CÉGEP et j'ai réussi à convaincre 4 professeurs de mettre à l'essai mon activité. Les deux CÉGEP où s'est déroulée l'expérimentation avaient des taux d'échec dans ce cours d'environ 40%. Certains professeurs étaient moins convaincus que d'autres de mon approche et n'ont pas incité leurs élèves comme je l'aurais voulu à pratiquer ces activités avec pour résultat un taux de participation très variable d'une classe à l'autre. Ils n'aimaient pas particulièrement le côté "drill" de ces activités sur ordinateur. Le taux global d'échec dans les 8 cours ayant appliqué à différent niveau ma méthode était de 20%, ce qui était tout de même deux fois moindre que dans les cours normaux mais encore insatisfaisant à mon point de vue. Cependant, si on ne retient que les 90 élèves ayant respecté les consignes de mes activités, un seul de ces élèves a échoué, ce qui situerait le taux d'échec à environ 1%.

En somme, c'est par une analyse de tâche où j'ai décomposé l'activité complexe en sous-habiletés et connaissances, et c'est en entraînant systématiquement les élèves sur ces sous-habiletés que j'ai pu amener un plus grand nombre de ces élèves à maîtriser cette habileté fort complexe qu'est le calcul des probabilités à des fins de test d'hypothèses. Pourtant, des gens comme Jacques Tardif ou Marie-Francoise Legendre, prétendent que ce type d'activité est à proscrire.

J'aimerais simplement terminer sur certains faits surprenants que j'ai pu constaté auprès de mes étudiants universitaires. Dans un test administré au tout premier cours, je demandais à des étudiants de calculer la moyenne de ces 5 nombres:

1, 1, 2, 5 et 6

Le total donnant un entier 15 se divisant facilement par 5, la moyenne était donc de 3.

Dans une première classe d'étudiants de 3e année du Bac et de première année de la maîtrise, seulement le tiers de la classe a réussi à calculer une moyenne sur ces nombres. Le taux de réussite d'élèves de première année d'un autre programme se situait entre 65 et 70%, mais dans ces cas, j'ai dû permettre l'utilisation de la calculatrice parce que plusieurs élèves m'ont avoué être incapables de faire ce calcul à la main. D'autre part, lorsque j'examine en détail les erreurs commises par mes étudiants, je constate des faits assez troublants pour une population universitaire. Voici une liste de 5 difficultés que j'ai fréquemment rencontrées :

- Multiplication par zéro (ex. 5 x 0 = 5)
- Confusion entre les signes < et >.
- Comparaison des nombres négatifs (-10 plus grand que -8)
- Comparaison des nombres avec décimales (0.1 est plus petit que 0.05, ou 0.454 est plus grand que 0.5)
- Incapable de faire des opérations sur des ensembles (intersection, fusion, etc.)

Si ces élèves éprouvent ce genre de difficultés, faute d'avoir acquis ou retenu ces apprentissages, comment voulez-vous les amener à faire une démarche complexe de résolution de problèmes de nature statistiques. Enfin, pourquoi et comment ont-ils pu arriver à ce niveau sans avoir acquis ces apprentissages de base?

Qui plus est, je n'ai pas eu une seule classe universitaire où je ne me retrouvais pas avec au moins un, sinon plusieurs étudiants analphabètes fonctionnels, ce qui représente une tout autre difficulté. Mais, là je ne voudrais pas m'égarer.

Quant au fait que j'interpelle directement monsieur Lyons, c'est simplement parce que je crois que tout éditeur de matériel pédagogique a la responsabilité sociale, celle de fournir aux enseignants du matériel éprouvé. Malheureusement, c'est rarement le cas. Je trouve également que monsieur Lyons fait la promotion d'idées qui sont dénuées de fondements scientifiques (en dépit de ses références à la tomographie du cerveau) et de surcroît dangereuses parce qu'elles favorisent l'utilisation d'activités peu efficaces et découragent les activités le seraient davantage. La lecture attentive de son livre "Les Secrets de l'Apprentissage" fournit malheureusement un bel exemple de désinformation.

Désolé si ces derniers propos choquent. Ce n'est pas à la personne de monsieur Lyons ni à l'enseignant que je m'adresse ici, mais à l'auteur, éditeur et distributeur de ce matériel pédagogique.

29. Le dimanche 18 septembre 2005 à 21:41, par Patrick Moisan :: site

Pour laisser toute la place à la question de l'utilisation «d'un cube pour représenter y^2 plutôt qu'un carré », j'ai publié mon commentaire en lien avec le plaisir à apprendre sur mon carnet. Il est possible que le serveur soit assez lent en ce moment. Désolé, il s'agit d'un problème temporaire. Le texte est ici : www.patrickmoisan.net/car...

30. Le dimanche 18 septembre 2005 à 22:44, par Robert Lyons

Les copains, quelle verve la fin de semaine! Heureusement qu'elle ne dure que 2 jours.

J'aimerais revenir sur la question abordée par M. Péladeau au sujet de la validation d'un manuel scolaire avant sa publication. J'endosse mille fois plutôt qu'une son point de vue.
À ce sujet, laissez-moi vous raconter l'histoire de la validation d'une collection de manuels d'enseignement. Selon mes connaissances, jamais des auteurs ne sont allés aussi loin.
Le tout commence en 1973, un CP qui travaillait à la CS d'Iberville a tenté de comprendre les causes des difficultés des élèves en maths. Il a fait passé des tests à quelques centaines d'élèves du 2e cycle d'alors, a recueilli les réponses, les a classées et a interrogé par la suite quelques élèves ayant fait ces erreurs.
Par la suite, il a rencontré une poignée d'enseignantes du 2e cycle en leur demandant de vérifier si les erreurs découvertes étaient celles qu'elles observaient. C'était le cas. Elles ne pouvaient cependant en préciser les causes.
Suivent des rencontres avec les enseignantes du 1er cycle. Bien que ces rencontres étaient individuelles, régulièrement, les enseignantes montraient dans leurs manuels des exercices qui pouvaient avoir conduit à ces erreurs.

Suivent une réflexion, un rapport de recherches et une rencontre d'enseignantes à ce sujet. Le CP invite alors une ou deux enseignantes à appliquer avec lui dans leur classe les conclusions de la recherche.

En septembre 1974, une enseignante de 2e année se porte volontaire. Ses élèves sont évalués au moyen de tests de mathématiques et d'un test de QI. Les mêmes évaluations sont réalisées auprès des élèves de 5 classes témoin. On constate peu d'écart entre les groupes.

Puis des activités sont vécues tout le reste de l'année dans la classe expérimentale. À la fin de l'année, les enseignantes des classes témoins préparent un examen et celle de la classe expérimentale fait la même chose.

Toutes les classes ont passé le test préparé par le groupe des 5 enseignantes. La classe expérimentale a obtenu une moyenne de 20 % supérieure à la meilleure des autres classes. Au sujet du test préparé par l'enseignante de la classe expérimentale, seule cette classe et une 3e année l'ont passé, les enseignantes des classes témoin l'ayant jugé trop difficile. Moyenne de la classe de 3e année : 55%, moyenne de la classe expérimentale : 80%.
L'enseignante de la classe expérimentale se nomme Mariette Duval et elle enseigne toujours à l'école Sacré-Coeur d'Iberville.

Encouragé par ces résultats, le CP fonde un groupe de recherches, qui existe toujours. Au fil des ans, il a regroupé en moyenne une dizaine de CP et d'universitaires, deux d'entre eux possédant un doctorat.

À compter de 1975, des activités sont rédigées et testées par environ 2000 élèves par degré, provenant des CS de Tracy, de Varennes, de Napierville et de Brossard. Pratiquement tous les élèves de ces CS étaient impliqués.

Après 8 années d'expérimentation, de révision des activités grâce à la présence constante des CP en classe et grâce aux nombreuses rencontres durant les quelles les enseignantes évaluaient les activités, le premier volume de la collection est publié, soit en 1983. Les cinq volumes suivront à raison d'un manuel par année afin de respecter la durée de 8 années d'expérimentation par manuel, dont 3 années avec les versions complètes, que se sont fixées les auteurs.

Ai-je dit que cette collection s'appelle Défi mathématique ? Puis-je ajouter que la recherche se poursuit toujours ?

Finalement, je n'ai rien contre la recherche en éducation... J'avoue cependant que je n'accorde que peu de crédibilité aux recherches qui n'impliquent pas les enseignantes et les élèves. En ce qui me concerne, les véritables chercheurs sont ces enseignantes et ces enseignants qui essaient de donner à leurs élèves ce qu'ils croient être le meilleur suite à ce qu'ils observent chaque jour. Les vrais chercheurs sont aussi les parents qui essaient d'aider leurs enfants. Que pensent ces enseignantes et ces parents de Défi mathématique ? Leurs opinions sont affichées sur www.defimath.ca.

Ce ne sont certes que des opinions de simples enseignants et de simples parents qui, devant former des élèves, n'ont pas le temps d'écrire de thèses qui ornent les tablettes des bibliothèques spécialisées.

D'autre part au sujet du rôle du jeu dans l'apprentissage, il n'est qu'un moyen et le but premier lors de la conception d'une activité n'est certainement pas qu'il s'agisse d'un jeu.
En ce qui me concerne, il existe un outil beaucoup plus motivant : le défi. Les élèves adorent relever des défis qui sont adaptés. Chaque fois qu'ils réussissent, leur plaisir dépasse largement celui de jouer.
Au fait, si vous avez regardé l'émission Découvertes, aviez-vous vraiment l'impression que ces élèves jouaient ?

Robert Lyons

31. Le dimanche 18 septembre 2005 à 23:48, par Patrick Moisan :: site

Bien entendu que le jeu est un moyen et non un but. J’ai de plus en plus l’impression que mon exemple au sujet des jeux déborde l’interprétation que je voulais lui attribuer, soit qu’il est possible d’apprendre et de faire des maths avec plaisir. Pour moi cela ne se limite bien sûr pas à la seule forme d’un jeu. Lorsque vous parlez des défis, je suis d’accord pour dire que le défi adapté est un puissant stimulant auprès des élèves. Si vous vous sentez cinéphile, je vous invite à voir le clip qui se trouve à la page suivante www.patrickmoisan.net/cop... . Un défi est aussi en quelque sorte, à mon sens, une forme de jeu. Je n’irai cependant toutefois pas jusqu'à affirmer que le défi est plus ou moins motivant qu’un jeu. Cela peut dépendre du contexte, de l’élève, de l’enseignant, du concept à aborder, du temps alloué, etc. Pour moi, les deux répondent à des aspects qui sont différents et ne sont de toute façon pas en compétition l’un par rapport à l’autre. Je ne comprends pas la tendance actuelle à tout vouloir situer dans un extrême ou l’autre.

Nous n'avons toujours pas de réponse à pourquoi utiliser un cube pour représenter y^2 plutôt qu'un carré?

32. Le lundi 19 septembre 2005 à 02:46, par Normand Péladeau

Je suis bien content d'apprendre que Defi mathématique a fait l'objet d'une validation. Je concède que c'est sans doute bien plus que bien d'autres méthodes utilisées au Québec, conçues sur une table de cuisine ou dans un bureau universitaire, et dont la seule expérimentation se limite aux commentaires du réviseur linguistique, d'un conjoint ou d'un collègue de travail.

Est-ce que ces résultats ont été publiés quelque part? Dans un rapport, un livre ou une revue? Outre cette étude interne qui a donné lieu à ce matériel, y a-t-il eu des études indépendantes qui ont testé votre approche?

Vous n'êtes pas sans savoir que pour être jugée "fondée scientifiquement", une méthode doit employer un devis de recherche, des données fiables et des analyses adéquates permettant d'affirmer un lien de causalité, que ces études doivent être accessibles, présentées avec suffisamment de détails pour pouvoir être répliquées et préférablement avoir été soumises à un journal avec comité de pairs (peer-reviewed) ou un panel d'experts indépendants.

"J'avoue cependant que je n'accorde que peu de crédibilité aux recherches qui n'impliquent pas les enseignantes et les élèves."

Tout à fait d'accord. Les recherches en laboratoire avec des étudiants, des animaux (non-humain j'entends), autant que les recherches neuropsychologiques sur le cerveau ne peuvent pas justifier une approche pédagogique ou une autre. Seule, une expérimentation en classe avec de vrais élèves et de vrais enseignants constituent le test ultime de ce qui marche et ne marche pas en éducation.

Par ailleurs, je trouve très habile, racoleur et vendeur cette idée de présenter les enseignants et les parents comme les "véritables chercheurs". Pourquoi pas les enfants également? C'est le genre d'idée très rousseauiste dont bien des gens dans le milieu de l'éducation raffoleraient.

Je ne nie pas que les enseignants ont cette possibilité de pouvoir expérimenter et constater les effets de leurs interventions. Certains s'y adonnent avec succès d'ailleurs. Quiconque oserait prétendre le contraire ou même apporter une légère nuance risquerait de passer pour une personne méprisante, élitiste et quoi encore. C'est pourtant ce que je m'apprête à faire. J'ose affirmer que bien des enseignants ne sont pas formés ou disposés à assumer ce rôle. Pourtant, je crois beaucoup à l'idéal de l'enseignant-chercheur, en mesure d'appliquer les méthodes de la démarche scientifique pour évaluer les outils pédagogiques qu'on lui propose, analyser le support empirique de ces méthodes, savoir détecter ce qui tient de la science et ce qui relève des chimères, des délires et de la pseudoscience, pouvoir tester avec ses élèves les nouvelles activités, abandonner celles qui ne marchent pas et conserver celles qui fonctionnent. J'imagine la frousse des didacticiens, des spécialistes de l'éducation et des gouvernements devant ces professeurs "consommateurs avertis". Ils n'oseraient plus tenter de leur faire avaler n'importe quoi. Mais on en est malheureusement pas là et on se retrouve parfois avec des aberrations, des méthodes dont les résultats sont désastreux.

Au fait, si eux sont les véritables chercheurs, qui sont les "faux chercheurs"? Cette attitude n'a-t-elle pas pour effet de dévaloriser ou de minimiser l'importance de la formation scientifique des gens qui s'adonnent à la recherche, de ces gens qui ont étudié souvent très fort et pendant de longues années pour maîtriser les méthodes souvent difficiles et astreignantes de la démarche scientifique. Le portrait n'est pas tout noir ni tout blanc et j'avoue qu'il y a bien des gens qui jouent un rôle de chercheur et dont on peut remettre en question leur compétence. Ne nions pas non plus qu'il y a de bien mauvais enseignants.

"Que pensent ces enseignantes et ces parents de Défi mathématique ? Leurs opinions sont affichées sur www.defimath.ca."

Hum! Des opinions de parents et d'enfants à propos de Defi mathématique rapportées par le site Defi mathématique?!? Qu'est-ce qui ne va pas dans ce tableau? Bel exercice pour un élève dans un cours d'introduction à la statistique. Cette autre discussion sur le site de l'aqec à propos de Defi Mathematique suggère pourtant que certains parents et certains élèves ne partagent pas ces opinions. Sont-ils de mauvais "chercheurs"? Ma fille a expérimenté et n'a pas apprécié cette méthode en 5e et 6e année, comme plusieurs de ses amies de classe. J'ai vu des parents lors de réunions d'école (dans 2 écoles) demander aux enseignants d'abandonner Défi mathématique et de revenir à d'autres méthodes. De mon côté, j'ai dû mettre les bouchés doubles pour aider ma fille à reprendre le terrain perdu lorsqu'elle s'est retrouvée en premier et deuxième secondaire (elle qui n'avait jamais eu de problèmes en math au primaire). Est-ce à cause de Défi mathématique? Ma position de parent-chercheur m'amènerait à conclure que oui, mais ma formation de chercheur-chercheur m'amènerait à être beaucoup plus prudent. De toute façon, je sais très bien qu'aucune méthode ne pourra obtenir la faveur de tous les parents ou tous les élèves et que lorsque n=1, il faut être bien prudent. Cependant, cela soulève l'importance d'une évaluation indépendante. D'ailleurs, un des parents dit préférer la méthode "Singapore maths". Je ne crois pas me tromper en disant qu'il s'agit ici d'une méthode ayant fait l'objet de nombreuses études indépendantes et qui a démontré des résultats pas mal impressionnants. Ceci dit, ce n'est sûrement pas une méthode approuvée par le ministère et qui risque par les temps qui courent de devenir très populaire. Je vous reviens là-dessus plus tard si ça intéresse les gens sur ce site.

"Au fait, si vous avez regardé l'émission Découvertes, aviez-vous vraiment l'impression que ces élèves jouaient ?"

Il me semble que monsieur Delord posait une question bien semblable. Permettez-moi de parler à sa place et de reformuler cette question fondamentale qu'il avait soulevée.

"Au fait, si vous avez regardé l'émission Découvertes, aviez-vous vraiment l'impression que ces élèves apprenaient ?"

33. Le lundi 19 septembre 2005 à 06:12, par Benoit St-André :: email :: site

On touche peut-être un point.

Mais qu'est-ce qu'apprendre ? Et que "doit-on" apprendre en maths ? Et surtout, quand l'un ou l'autre des "camps" de la discussion nous ramène au fait "qu'on apprend mieux comme ça", on évalue par rapport à quel standard ? Additionner ? Résoudre un "problème" simple ? Complexe ?

Ouille ouille... Je me tape moi-même sur les doigts, point d'ordre :-), on dérape toujours du débat didactique même si Patrick a bien essayé de nous y ramener.

Peut-être que Gilles peut réitérer quels sont les points dont on a pas encore discuté ici ?

34. Le lundi 19 septembre 2005 à 11:57, par Gilles G. Jobin :: email :: site

Ma question était, somme toute, simple:
Comment peut-on s'assurer que l'enfant a bien compris un concept mathématique si on utilise des "trucs" (qu'ils soient imagés, algorithmiques, etc) dans notre enseignement.
Et là est toute l'idée du cube représentant un carré. M. Lyons nous a dit que l'enfant SAIT qu'il s'agit d'une surface. Mais un nombre N'EST PAS UNE SURFACE. 16 est conceptuellement très différent de 16 cm^2. Et dans un trinôme, les lettres représentent généralement TOUS les réels. Or, dans mon billet, j'indique que L'ENSEIGNANT SAIT que certains réels ne peuvent se représenter sous la forme d'un carré. Didactiquement parlant, comment fait cet enseignant pour ne pas laisser l'élève sur ses illusions.
Par ailleurs les mots CUBE et CARRÉ n'évoquent pas la même chose. Pourtant on représente x^2 par un carré et y^2 par un cube. (il me semble que les mots sont prononcés ainsi dans la vidéo) L'enfant intelligent ne devrait-il pas y voir une incongruité? S'il ne la voit pas, l'enseignant n'a-t-il pas lieu de se poser des questions?
Voilà, je crois l'essence de mon billet.

35. Le lundi 19 septembre 2005 à 13:46, par Patrick Moisan :: site

Belle synthèse Gilles.

Si l'on continue à ce rythme, nous aurons bientôt besoin d'un forum de discussion :-)

36. Le lundi 19 septembre 2005 à 15:26, par Robert Lyons

Il faut comprendre la force de l'analogie, du contexte qui est présenté aux élèves et qui encadre tout le travail. Le matériel utilisé lors de cette activité est dit «matériel de base dix» et il sert couramment afin de présenter la numération positionnelle. Au premier et au 2e cycle, la plaque est la centaine, la réglette est la dizaine et le cube, l'unité. Au 3e cycle, selon les besoins, la plaque devient l'unité ou la centaine, la réglette devient la dizaine ou le dixième et le cube devient unité ou centième. Ce matériel est aussi utilisé pour l'enseignement de la mesure métrique. De plus, au moment même où l'émission a été tournée, les élèves utilisaient les mêmes cubes afin d'ériger des constructions en partant de dessins. Par la suite, ils devaient décrire ces constructions en terme de volume, d'aire du dessus, de périmètre et d'aire latérale. Chaque fois le nombre et le symbole des unités de mesures devaient être indiqués (Défi 3, p. 135).

Bref, si le contexte est bien implanté, les élèves encadrent correctement ce dont il est question et la confusion n'existe pas, 30 années d'expérimentations en classe nous l'ont démontrées.

Pourquoi utiliser des cubes ? Pour faciliter la manipulation. De plus, le matériel de base 10 commercial et le matériel magnétique que j'utilise sont constitués de pièces de 1cm de profondeur.

Enfin, nous travaillons avec des élèves de 8 ans, il ne faut certes pas leur enseigner de faussetés - les manuels en sont déjà bien garnis, par exemples : diviser, c'est partager ou mesurer, la multiplication est une addition répétée, les exposants représentent une multiplication répétée, 10 divisé par 4 = 2 reste 2, ...) - il ne faut pas non plus donner au symbolisme un rôle dominant le concret. Finalement, on se rend compte que la manipulation, qui facilite la compréhension du problème, ainsi qu'un contexte solidement implanté, doivent toujours précéder le symbolisme.

Robert Lyons

37. Le lundi 19 septembre 2005 à 22:35, par Bkouche :: email

Bien lu le texte sur la factorisation de x^2 + 1.
C'est très amusant et ça peut plaire aux élèves. Mais c'est tout au plus un tour de magie.
Que dire de plus ?
rudolf bkouche

38. Le mardi 20 septembre 2005 à 00:51, par Normand Péladeau

Sur le site de monsieur Moisan

www.patrickmoisan.net/car...

je mentionne pourquoi il est important de pratiquer des procedures algorithmiques même une fois que l'élève a compris. J'identifie 4 avantages avec des exemples d'études. Ces quatres avantages sont:

1) Plus grand transfert d'apprentissage - donc meilleure compréhension

2) Plus grande résistance à la fatique

3) Plus grande résistance à la distraction.

4) Plus grande rétention à long terme.

Autant de raisons pour non seulement ne pas rejeter les pratiques répétées, mais pour en faire plus souvent.

39. Le mardi 20 septembre 2005 à 01:16, par Gilles G. Jobin :: email :: site

On s'écarte du sujet du thème du billet et l'interventoin de M. Péladeau demanderait sans doute un des explications.
Par exemple, si on a compris un concept (imaginons celui de la division) en quoi donc en faire 1000 améliorerait la "compréhension?"
Je crois que dans certains apprentissages commepar exemple en piano où il peut être très très important de pratiquer "en fou" les gammes, ou de refaire des centaines de fois un passage difficile "pour qu'il nous rentre dans la main", mais au niveau de l'apprentissage des maths, je n'ai jamais vu un élève COMPRENDRE MIEUX après des tonnes d'exercices (même tous réussis!) s'il ne saisit pas le concept. Le cerveau d'un enfant, me semble-t-il, est beaucoup plus qu'un cerveau de souris à laquelle on "enseigne" par petits chocs électriques à sortir d'un labyrinthe...
L'important est que l'enfant COMPRENNE ce qu'il fait. Qu'il le fasse lentement ou rapidement, j'avoue que je m'en fiche pas mal s'il me démontre sa compréhension.

40. Le mardi 20 septembre 2005 à 04:24, par Mario Cyr

Bonjour à vous tous.

C'est la problématique du modèle qui m'amène à participer au blogue. Un modèle consiste en la représentation tangible d'un phénomène nous permettant d'y accéder indirectement. Lorsqu'on me présente une analogie entre le modèle atomique (qui est une représentation grossièrement sphérique) des comportements de la matière avec le modèle de la plaque pour la factorisation, j'ai un oeil qui cligne tout seul...

L'objet représenté par ces deux modèles diffère: le premier étant issu d'observations empiriques tandis que le second consiste à imager comment s'articule la logique mathématique. Qui sait POURQUOI une molécule fait ce qu'elle fait? On connaît néanmoins le comment. En ce qui concerne les maths, l'objectif est tout autre. Le pourquoi est accessible; parce que le contraire est illogique ou incompatible avec les conventions. C'est le COMMENT auquel je dois avoir accès dans cette activité. Dans cette optique, je ne crois pas que l'utilisation du FAIRE COMME SI (même si ce n'est pas tout à fait identique à la nature des nombres) soit une offense à un quelconque code éthique et qu'on doive s'en offenser. C'est l'articulation et l'inter-relation des concepts qui est visé. Leur nature peut être abordée par une autre activité complémentaire.

En dernier lieu, un modèle doit, par définition, être amélioré si, en sciences par exemple, on découvre un nouveau comportement. Par quoi, en pédagogie des math, un modèle (ou représentation tangible) peut-il être amélioré s'il remplit son mandat. Il est certain qu'il ne remplacera jamais les concepts purs des nombres et opérations.

Honnêtement, je ne me considère pas comme très calé, mathématiquement et pédagogiquement parlant. Mais si, en donnant un contexte concret et une signifiance de logique et émotive aux élèves dans leur cours de math, je crois (naivement peut-être) qu'ils y auront recours un peu plus facilement pour aborder leurs problématiques quotidiennes. Et en cela, le modèle aura joué son rôle.

Humblement
Mario Cyr

41. Le mardi 20 septembre 2005 à 04:26, par Normand Péladeau

Lisez attentivement mon message sur le site de monsieur Moisan et vous constaterez que je ne prétends pas que la pratique répétée d'une habilleté X améliore la compréhension de cette activité X, mais qu'elle facilite plutôt la compréhension des habiletés plus complexes impliquant cette habileté X.

D'autres part, je dirais que si l'on se contente du fait que l'enfant COMPRENNE, alors il ne faut pas s'étonner si dans un mois ou deux, il ait tout oublié. Si on ne pratique pas, on oublie. Et contrairment aux activités motrices, les activités cognitives ont besoin de beaucoup plus d'exercices pour être retenues.

Nous avons l'impression qu'il n'y a plus d'apprentissage lorsque l'enfant atteint un seuil de 100% de réussite. Le problème est que le pourcentage est une mesure très limitée de l'apprentissage. Si vous mesurez plutôt la performance de l'élève en terme de bonnes réponses à la minute et que vous observez l'évolution avec les pratiques (ce que l'on fait souvent à l'aide d'un graphe semi-logarithmique), vous observerez alors que la vitesse de réponse augmente et continue à augmenter même après que l'élève a atteint le 100% de bonnes réponses. Dans certains cas, il pourra doubler ou tripler sa vitesse simplement en pratiquant. Cette augmentation de la vitesse de réponse est aussi un indice qu'il y a encore un apprentissage qui se fait.

Je fais ce type d'excercies avec mes étudiants en leur demandant de différencier à partir d'exemples, les échelles nominale, ordinale, d'intervalle et de rapport. Certains réussissent à répondre à une banque de question une vitesse dépassant 40 questions à la minute. Le temps de réaction est sans doute d'une fraction de seconde, alors qu'en moyenne cela peut prendre 4 ou 5 seconds à un élève pour trouver la réponse, une fois qu'il a compris mais non pratiqué.

La capacité de ceux qui sont "fluent" à suivre un exposé qui utilise ces notions est beaucoup plus importante que ceux qui doivent prendre quelques secondes pour retrouver la signification d'un seul mot.

Dites-vous que lors d'un exposé, un énoncé simple ne dure que 2 ou 3 secondes, et une phrase plus complexe durera peut être 4 secondes. Si l'élève à besoin de 3 secondes pour retrouver le sens du mot "nominal" et un autre 4 secondes pour retrouver le sens des expressions "variable dépendante" et "variable indépendante", alors suivre l'exposer d'un enseignant faisant référence à ces notions fait en sorte qu'un fois que l'enfant à compris le premier mot de la phrase, vous êtes déjà rendu à la phrase suivante. Il perd le fil de l'exposé et ne comprend plus.

En fait, l'expérience est très similaire à l'expérience que l'on peu avoir lorsqu'on assiste au cinéma à un film dans une langue étrangère que l'on ne maîtrise pas parfaitement. On en perd des bouts. L'enfant qui COMPREND mais ne MAITRISE pas les habiletés au point de les avoir automatisées, aura de la difficulté à suivre une explication.

Je dois également dire que c'est très gratifiant d'enseigner à des élèves qui connaissent leurs notions de base sur le bout de leurs doigts, et vous pouvez les amener très loin, à faire des choses que l'on imaginerait pas.

Avant, je consacrait le dernier cours avant l'examien final de méthodques quantitatives à montrer aux élèves, deux outils de prise de décision pour le choix d'une méthode statistique. A l'examen, une bonne proportion des élèves échouaient.

Maintenant, avec des élèves ayant automatisé les notions de bases, je ne prends plus que 15 minutes pour leur montrer comment ça marche, on fait 3 ou 4 exemples et on passe à autre chose. Les étudiants, sont complètement allumés et confiants parce que pour eux, c'est un jeux d'enfant. Les résultats à ces questions aux examens sont maintenant tout près de 100% pour l'ensemble des élèves de ma classe.

42. Le mardi 20 septembre 2005 à 05:03, par Robert Lyons

Normand Péladeau a écrit: « D'autres part, je dirais que si l'on se contente du fait que l'enfant COMPRENNE, alors il ne faut pas s'étonner si dans un mois ou deux, il ait tout oublié. Si on ne pratique pas, on oublie. Et contrairement aux activités motrices, les activités cognitives ont besoin de beaucoup plus d'exercices pour être retenues»

Puis-je illustrer cela par quelques exemples ?
Entre 4 et 8 ans, l'enfant comprend que s'il étire une ligne de jetons, il n'en change pas la quantité. Il comprend aussi que lorsqu'il verse entièrement l'eau d'un récipient dans un autre récipient vide et de forme différente, la quantité de liquide ne change pas.
Vers l'âge de 6 mois, un enfant comprend qu'un objet ou une personne existe toujours même lorsque ses sens n'en perçoivent pas la présence.

Ces apprentissages qui constituent de réelles compréhensions se produisent instantanément. La compréhension est un phénomène instantané, un moment on ne comprend pas et puis, c'est l'éclair, nous avons compris. Pensez à une bonne blague et essayez de vous rappeler l'instant où votre compréhension est passée de 0% à 20%, puis celui où elle est passée à 40%, etc. Les choses ne se passent pas ainsi.

Par contre, tous ne comprennent pas au même moment car la porte d'entrée qui fait jaillir l'éclair est différente d'un individu à un autre. Alors, il faut présenter un concept de nombreuses façons, en succession, jusqu'à trouver la porte d'entrée de chacun de nos élèves. Cela implique que, jusqu'à un certain point, nous décidons, habituellement inconsciemment de ceux qui comprendront en premier et de ceux qui, peut-être, comprendront aussi rapidement ... plus tard.

Et comment les exercices répétitifs permettent-ils de ne pas oublier ce que l'on a compris ? En fait, là j'ai besoin d'aide car, franchement, je ne me rappelle pas les exercices que j'ai pu faire depuis l'âge de sept ans pour me rappeler qu'en étirant une ligne de jetons je n'en change pas la quantité. Pire, la presque totalité des adultes sont surpris d'apprendre qu'un jour ils ont pensé différemment.

À 5 ou 6 ans, si vous montrez 3 ours et 2 lions à un enfant en lui demandant s'il y a plus d'ours ou plus d'animaux, il dit qu'il y a 3 ours et 2 animaux. Demandez-lui s'il y a plus de lions ou plus d'animaux, il dit qu'il y a 2 lions et 3 animaux. Ce qui est fascinant, c'est que quelques mois plus tard, il maîtrise le concept de double inclusion. Et cela, même si personne de son entourage ne s'est rendu compte de cette nouvelle compréhension. On dirait que l'enfant l'a appris par lui-même, une sorte d'apprentissage autonome par la découverte. Évidemment, comme peu de gens soupçonnent alors cette nouvelle compréhension, rares sont ceux qui voudront la rappeler et la faire pratiquer à l'enfant.

La compréhension est un phénomène cognitif instantané qui ne nécessite aucun exercice pour être retenu car elle modifie la structure du cerveau. Pour les habiletés motrices, c'est une autre affaire.

Robert Lyons

43. Le mardi 20 septembre 2005 à 13:00, par Marie-Élaine :: email :: site

Au sujet de la répétition des exercices... J'ajouterais que M.Péladeau parle de compréhension et d'apprentissage à titre de performance scolaire. Ils réussissent mieux lors des examens, ils réussissent mieux lorsqu'on leur explique. Personne ne peut nier ces résultats. Mais il reste que ce sont des résultats scolaires, d'exercices scolaires.

Or, l'école, ce n'est pas la réalité. On "fait comme si" à l'école, on donne des problèmes du genre "Ta mère a fois l'âge de ta soeur qui a deux ans de plus que toi, quel est ton âge?" et qui n'ont aucune espèce de rapport dans la vie. Dans la réalité, on ne performe pas à des examens, on performe dans des contextes, on ne fait pas de calcul à la main, on utilise des ordinateurs.

Je ne pense pas que la compréhension réelle d'un phénomène ou d'une notion puisse se faire dans le cadre d'un examen scolaire tel qu'il existe présentement. Cependant, tel que l'école existe présentement, c'est une super réussite.

J'ajouterais également une parenthèse: tout ça, c'est l'fun pour le prof. C'est l'enseignant qui est content: il a bien fait sa job, les élèves réussissent bien à son examen. Les étudiants sont contents aussi, parce qu'ils réussissent bien aux examens du prof. Pas parce qu'ils ont compris, parce que le prof est content d'eux. Et ce rapport prof/élève de satisfaction, c'est mon plus grand problème présentement en classe: les élèves ne le font pas pour eux, ils le font pour le prof. Et moi, je ne le fais pas pour moi, je le fais pour eux. C'est très embêtant, mais c'est une autre histoire, je suis hors sujet.

Je n'ai pas fait des tonnes d'exercices à l'école, ça me répugnait. Je faisais le minimum, pour le prof. Mais je trouvais ça insignifiant, parce que j'avais compris.

44. Le mardi 20 septembre 2005 à 13:17, par steve bissonnette

Voici ce que John Anderson, Lyne Reder et Herbert Simon (1998) indiquent à propos de la pratique :

«This criticism of practice (called «drill and kill», as if this pejorative slogan provided empirical evaluation) is prominent in radical constructivist writing. Nothing flies more in the face of the last twenty years of research than the assertion that pratice is bad. All evidence, from laboratory and from extensive case studies of professionals, indicates that real competence only comes with extensive practice. By denying the critical role of practice, one is denying children the very thing they need to achieve competence» p. 241

Anderson, J. R., Reder, L. M. & Simon, H. (1998). Radical constructivism and cognitive psychology. In D. Ravitch (Ed.) Brookings papers on education policy 1998. Washington, DC: Brookings Institute Press.

Voir les travaux de ces cognitivistes :

act-r.psy.cmu.edu/people/...

45. Le mardi 20 septembre 2005 à 14:10, par Bkouche :: email

Il y a en mathématiques comme en musique un aspect gamme.
Et il est important de faire des gammes, pour comprendre mais aussi de maïtriser ce que l'on a compris.
De même que l'on ne peut réduire la musique à l'art des gammes, on ne peut réduire les mathématiques aux seuls exercices d'entraînement. Reste qu'il faut en faire.
En particulier, si l'on veut maîtriser les quatre opérations. On ne peut se contenter du seul "j'ai compris".
rudolf bkouche

46. Le mardi 20 septembre 2005 à 22:20, par Robert Lyons

M. Péladeau a écrit : «je mentionne pourquoi il est important de pratiquer des procédures algorithmiques même une fois que l'élève a compris. J'identifie 4 avantages avec des exemples d'études. Ces quatre avantages sont:

1) Plus grand transfert d'apprentissage - donc meilleure compréhension»

Je me demande combien de fois il faut pratiquer la division par une fraction pour la comprendre et pour la transférer dans une situation réelle. Par exemple, puisque 1$ divisé par ½ = 2$ et puisque la majorité des gens répondent plutôt 50¢, il est clair qu'ils n'ont pas compris. Alors, combien de divisions de fractions devraient-ils faire pour comprendre ?

Robert Lyons

47. Le mercredi 21 septembre 2005 à 02:41, par Martin :: email

En collaboration avec l'enseignante en mathématique, les élèves en histoire secondaire 1 feront une recherche sur la numération et l'application des maths dans nos vie. J'aimerais avoir, si vous le voulez bien des informations, des adresses webs pertinentes pour élaborer le projet. Des pistes et des précisions seraient les bienvenues. Merci

48. Le mercredi 21 septembre 2005 à 02:52, par Normand Péladeau

Je ne commenterai pas la longue réponse de monsieur Lyons sur la nature de la compréhension saus peut être pour lui demander s'il est en mesure de siter un seul chercheur en éducation qui propose une théorie semblable pour le moins "originale".

Pour répondre à sa question. Compbien de fois il faut pratiquer la division avec une fraction. Je répondrais, qu'une fois compris, les élèves devraient la pratiquer jusqu'à ce qu'ils puissent s'en souvenir une fois devenu parents.

On peut facilement imaginer que tous ces parents ont déjà appris et sans doute compris la division par une fraction lorsqu'ils étaient sur les bancs d'école. Pourquoi aujourd'hui ne s'en souviennent-ils plus?

Pourquoi les élèves qui arrivent dans mon cours de méthodes quantitatives à l'université ne se souviennent-ils pas du cours de MQ qu'ils ont eu au CÉGEP deux ans plus tôt, où ils ont sans doute également compris ce qu'était une moyenne, une médiane, un écart type, une corrélation ou une propabilité.

49. Le mercredi 21 septembre 2005 à 03:32, par Robert Lyons

M. Péladeau, étant donné que vous enseignez les maths, vous devez pratiquer régulièrement la division de fractions. Alors, pouvez-vous me donner une explication claire et une ou deux applications courantes de 1$ divisé par ½. Ce n'est pas une question difficile. Vous avez suffisamment de pratique pour nous expliquer cela. Et un enfant de 7 ans le comprend très bien. Si vous ne le pouvez pas, votre théorie de la compréhension sera quelque peu amochée.
Vous voulez des références sur ma conception de la compréhension. Si elle est vraiment originale, il n'y aura pas de références, n'est-ce-pas ? Comme vous l'écrivez, mon texte est assez long et j'y affirme diférentes choses sur la compréhension : son caractère instantané, le fait qu'elle apparaît d'un individu à l'autre à partir de différentes portes d'entrée, le fait que certaines compréhensions modifient le fonctionnement du cerveau, le fait que je ne fais aucun exercice depuis l'âge de six ans pour me rappeler qu'en étirant une ligne de jetons, je n'en change pas la quantité, ... Bref, remettez-vous tout cela en question ou ne remettez-vous en question que certaines de ces affirmations ?

À bientôt.

Robert Lyons

50. Le mercredi 21 septembre 2005 à 06:39, par François Guité :: email :: site

Une étude récente porte à croire que des habiletés mathématiques sont innées, contrairement à ce qu'affirme M. Bissonnette dans le premier commentaire. Voire à ce sujet :

www.pnas.org/cgi/content/...

et

www.eurekalert.org/pub_re...

51. Le mercredi 21 septembre 2005 à 09:48, par Michel Delord :: email

Ceci n'est pas tout à fait le sujet mais est en lien avec lui : je viens de faire une petite note sur www.gilles-jobin.org/jobi...

MD

52. Le mercredi 21 septembre 2005 à 10:19, par Michel Delord :: email :: site

Robert Lyons a écrit :

"Alors, pouvez-vous me donner une explication claire et une ou deux applications courantes de 1$ divisé par ½. "

Je ne sais quelle est la méthode employée par Norman mais je vous livre la mienne

Cela suppose un curriculum dans lequel les élèves savent que :

i) Si l'on multiplie (respectivement divise) le dividende d'une division par un nombre, le quotient est multiplié (respectivement divisé) par ce nombre.

ii) Si l'on multiplie (respectivement divise) le diviseur d'une division par un nombre, le quotient est divisé (respectivement multiplié) par ce nombre.

iii) – qui est une conséquence de i) et ii) - Si l'on multiplie (ou divise) le dividende et le diviseur d'une division par un nombre, le quotient ne change pas.

Ceci dit, combien vaut 1$ divisé par ½ ?

a) Si l'on utilise ii)

½ est la moitié de 1 , donc , comme 1$ divisé par 1 vaut 1 $,
1$ divisé par ½ vaut deux fois plus que 1$ divisé par 1 , c'est-à-dire 2×1$ = 2 $.

b) Si l'on utilise iii)

1$ divisé par ½ représente le même nombre que 2×1$ divisé par 2×½ ,
c'est-à-dire 2$ : 1, id est 2 $.

Bien sur, je n'introduis pas précédemment mécaniquement les règles i) à ii) et j'utilise notamment de représentations géométrique mais rigoureuses, ce qui ne s'oppose pas du tout à l'intuition et à l'analogie. On peut même dire qu'il n'y a pas de véritable rigueur sans intuition et que la rigueur et ce qui donne toute sa valeur à l'analogie puisqu'elle permet de débusquer les fausses analogies.

Je reviendrais sue ce que dit R. Lyons plus tard sur le sujet de départ mais je veux intervenir positivement, c'est-à-dire en donnant des solutions que j'espère aussi rigoureuses qu'intuitives, ce qui donne un peu de travail pour rédiger
Cordialement

MD

53. Le mercredi 21 septembre 2005 à 12:30, par steve bissonnette

Merci des références monsieur Guitef. Cependant, comme je l'ai mentionné précédemment ces études confirment que certains apprentissages élémentaires sont faits naturellement mais comme le souligne Geary nous sommes loin de la résolution de problème et de l'algèbre ! Les apprentissages mathématiques plus complexes s'apprennent plutôt à l'école !

voir David Geary :

www.missouri.edu/~psycori...

54. Le mercredi 21 septembre 2005 à 12:58, par François Guité :: email :: site

C'est « Guité ». Comme l'erreur est facile, n'est-ce pas ? ;-)

55. Le mercredi 21 septembre 2005 à 22:04, par Michel Delord :: email :: site

1$ divisé par ½ = ? Une autre réponse.

Il y a aussi une autre possibilité : remarquer que, si l'on ne s'intéresse qu'à l'aspect numérique de la division, la division qui donne le nombre de parts donne bien le même résultat numérique que celle qui permet de trouver la grandeur d'une part* .

Une fois ceci compris, on peut aussi dire que 1$ divisé par ½ (dont le résultat en terme de grandeurs sera exprimé en $) aura le même résultat numérique que "1$ divisé par ½ $". Mais là, la réponse est immédiate : 1$ divisé par ½ $ donne comme résultat la réponse à la question : combien de fois un demi-dollar dans un dollar ? Et c'est 2.
Et donc, 1$ : ½ = 2 $.

Je reviendrai plus tard sur les limites de ce raisonnement mais il me semble judicieux en ce cas.

Michel

* Bien entendu, cela ne fait pas que se "remarquer" et l'on peut le montrer.

Il suffit de reprendre les manipulations physiques de distribution de billes par exemple ( ou une représentation par des points disposés en rectangle , mais de préférence pas un quadrillage car ce n'est pas un problème de mesure des aires) qui correspondent aux deux problèmes suivants :

i) J'ai 12 billes et je les partage en trois parts égales. Combien de billes dans chaque part ? (Id est : 12 billes : 3 = 4 billes)
ii) J'ai 12 billes que je partage en tas de 3 billes. Combien de tas ? ( Id est :12 billes : 3 billes = 4)

Attention, l'égalité du résultat numérique 4 dans les opérations "12 billes : 3" et "12 billes : 3 billes" n'est pas de même nature que la relation entre " 12 billes : 3 = 4 billes" et "12 billes : 4 billes = 3" .

Car la première équivalence vient de l'égalité simplement numérique 4×3 = 3×4 tandis que la deuxième vient du fait que les deux opérations " 12 billes : 3 = 4 billes" et "12 billes : 4 billes = 3" proviennent de la même multiplication 4 billes × 3 = 12 billes.

56. Le mercredi 21 septembre 2005 à 22:20, par Michel Delord :: email :: site

R. Bkouche a écrit :
[De même que l'on ne peut réduire la musique à l'art des gammes, on ne peut réduire les mathématiques aux seuls exercices d'entraînement. Reste qu'il faut en faire.
En particulier, si l'on veut maîtriser les quatre opérations. On ne peut se contenter du seul "j'ai compris".
rudolf bkouche]

Je voudrais rajouter ce texte d'Henri Canac datant du debut des années 50.

Citation :

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En conclusion, disons que le travail scolaire ne consiste pas et ne peut prétendre à faire résoudre routinièrement à l'enfant toutes les difficultés particulières que la vie pourra lui proposer : au pied du mur, il s'en tirera comme il pourra, le plus souvent en suivant la commune coutume et les recettes empiriques des métiers.

La tâche de l'école est plutôt d'exercer l'esprit de l'enfant sur des thèmes de réflexion, souvent plus schématiques et plus abstraits que les situations de la vie réelle, mais qui, par les habitudes de pensée claire et rigoureuse dont ils sont le support, sont sans doute la plus efficace des préparations aux difficultés plus ou moins imprévisibles que lui réserve l'existence.

« Exercice, dit Alain (1), action qui a pour fin de se préparer à une action réelle. Je fais des gammes, afin de pouvoir jouer une sonate. J'apprends l'escrime, afin de pouvoir combattre. J'apprends l'anglais, en vue de parler avec d'autres qu'avec le maître d'anglais. Il est compris dans l'exercice que l'on y divise les difficultés, en séparant un mouvement de tous les autres. »

La meilleure des préparations à la vie ne serait-elle pas, en fin de compte, l'exercice intellectuel le plus méthodique?

Henri Canac
(1) Alain : Définitions, Gallimard, éditeur, 1953.

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Le texte complet est à
michel.delord.free.fr/can...

MD

57. Le jeudi 22 septembre 2005 à 01:55, par Normand Péladeau

On voit très bien les références à Piaget dans votre exposé, monsieur Lyons. Le problème est que les phénomènes de conservation des liquides, ou la permanence de l'objet étudiés par Piaget n'ont malheureusement rien à voir avec l'apprentissage de la division par une fraction. Pour diverses raisons, sur lesquelles les auteurs ne s'entendent pas nécessairement, ces premiers apprentissages sont rarement réversibles. Je dirais pour ma part, que l'expérience du monde physique est suffisante pour maintenir ces apprentissages. Malheureusement, ce n'est pas nécessairement le cas de beaucoup d'apprentissages scolaires qui eux sont souvent réversibles (faute de pouvoir être mis en pratique). Combien de choses a-t-on apprises et comprises et a-t-on oubliées une fois les examens terminés. Qu'est-ce qui reste, et qu'est-ce qu'on oublie? Mais surtout, comment peut-on faire pour ne pas que les élèves oublient lorsqu'on sait qu'ils n'auront sans doute pas la chance de mettre en pratique les nouveaux apprentissages dans un avenir immédiat. Il y a de multiples stratégies, mais la plus universellement reconnue est la pratique répétée et distribuée dans le temps. A ce sujet, l'une des meilleures recensions sur le sujet a sans doute été écrite par Farr (1987)

www.amazon.com/exec/obido...

En passant, les néopiagétiens ont toujours eu de la difficulté à comprendre pourquoi des élèves au stade opératoire formel régressaient à un stage opératoire concret après avoir quitté l'école. Pour eux, cela de pouvait pas s'expliquer selon la théorie génétique de Piaget. Pour moi, c'est très clair. Les anciens élèves ont oublié des apprentissages réalisés plus sur les bancs d'école, apprentissages caractéristiques de ce que Piaget identifiait à tort comme caractéristique d'un stade d'évolution développementale.

"pouvez-vous me donner une explication claire et une ou deux applications courantes de 1$ divisé par ½."

Pas du tout, puisque je n'ai jamais eu à enseigner cette notion. J'enseigne à des étudiants universitaires les méthodes statistiques et j'assume, souvent à tort, qu'ils ont appris, compris et retenu les nombreuses notions et principes de base en mathématiques. Je peux cependant vous énoncer au moins 8 sous-habiletés procédurales et sans doute une vingtaine de connaissances déclaratives nécessaires à la compréhension et l'application du calcul de probabilité d'une différence entre deux moyennes. Si les élèves ne connaissent pas l'ensemble de ces éléments et s'ils ne les maîtrisent pas, ils auront beaucoup de difficulté à comprendre.

Je me permets de relater un témoignage personnel que j'ai déjà présenté il y a un an ou deux sur un autre blog. Une étudiante adulte dans mon cours de MQ à l'université avait eu beaucoup de difficultés en première moitié de la session. Elle était bien près de la note de passage. C'était la première année ou j'expérimentais une technique de pratiques intensive et ces pratiques n'ont été imposées qu'à la mi-session. Elle s'est mise à pratiquer au point où elle a accumulé à la fin de la session près de deux fois plus de pratiques que n'importe quel autre étudiant de ma classe. Une semaine avant l'examen, elle me rencontre pour me témoigner son inquiétude. Elle n'a pas de problèmes avec les pratiques et obtient de bons résultats mais elle a peur d'échouer parce qu'elle me dit qu'elle n'avait absolument rien compris au chapitre 10 du manuel (calcul de probabilité et tests d'hypothèses statistiques) au moment où elle avait dû le lire pour le cours à la mi-session. Elle ne voyait pas non plus comment des pratiques sur des questions aussi simples pouvaient l'aider à comprendre ce chapitre aussi complexe. À l'examen, elle obtient 94 ou 95%, l'une des plus hautes notes de la classe. Elle m'appelle la semaine suivante pour me demander sa note et, très soulagée, elle me dit qu'à sa grande surprise, lorsqu'elle a relu le chapitre 10 les jours précédents l'examen, elle avait tout compris.

C'était précisément ce que j'espérais obtenir. En automatisant les habiletés de base par des pratiques répétées, elle a pu lire la description d'habiletés très complexes et se concentrer non plus sur des détails mais sur la logique de l'ensemble. Et déjà après cette première tentative d'appliquer une technique du genre, j'ai pu constater une forte corrélation entre la quantité de pratiques sur des habiletés simples, et la compréhension d'habiletés beaucoup plus complexes.

C'est ce que j'ai voulu dire lorsque je disais que la pratique d'habiletés de base augmente la compréhension d'habiletés composites.

J'ai également pu démontré plus tard, que même si les élèves atteignent un niveau de compréhension de 90% ou même 100%, l'absence de pratiques sera suivie d'un oublie important quelques semaines plus tard, même en cours de session, sinon quelques mois plus tard une fois le cours terminé.

Ne croyez-vous pas qu'il est en parti de la responsabilité de l'enseignant de faire en sorte que les élèves retiennent ce qu'ils ont appris? Croyez-vous vraiment qu'une fois que l'élève a compris, qu'il n'y a aucune chance qu'il oublie?

58. Le vendredi 23 septembre 2005 à 02:35, par Robert Lyons

D'abord, à l'intention de M. Péladeau, votre texte porte à réfléchir et je crois que nous pouvons entreprendre une réflexion qui nous fera avancer. Je compte bien revenir sur ce sujet en fin de semaine.

Par ailleurs, M. Delord nous sert d'abord de savantes explications au sujet de 1$ divisé par ½. Il prend la peine de préciser que : «Cela suppose un curriculum dans lequel les élèves savent que :

i) Si l'on multiplie (respectivement divise) le dividende d'une division par un nombre, le quotient est multiplié (respectivement divisé) par ce nombre.

ii) Si l'on multiplie (respectivement divise) le diviseur d'une division par un nombre, le quotient est divisé (respectivement multiplié) par ce nombre.

iii) – qui est une conséquence de i) et ii) - Si l'on multiplie (ou divise) le dividende et le diviseur d'une division par un nombre, le quotient ne change pas. »

Hum ! Combien d'élèves de 11 ans y comprendront quelque chose ?

Si nous voulons démontrer que 1$ divisé par ½ = 2$, il suffit de rappeler que 2$ X ½ = 1$ et que, forcément, par opération inverse, 1$ divisé par ½ = 2$.
Nous pouvons aussi utiliser la simplification de fractions et constater que 4$/2 = 2$/ 1 = 1$/½ = 2$
Cela ne permet pas de comprendre, mais il est possible de l'accepter. Cela ne permet pas le transfert et la meilleure preuve est que bien que des situations similaires à la division de 1$ par ½ sont très fréquentes, dans la vie de nos élèves, dans celle de MM. Delord et Péladeau, aucun ne semble en mesure d'en citer une seule.

Ce n'est pas bien grave puisque, le moment venu, ils interprètent correctement la division par ½ sans le savoir.

D'autre part, je suis en état de choc après avoir lu :
«Il y a aussi une autre possibilité : remarquer que, si l'on ne s'intéresse qu'à l'aspect numérique de la division, la division qui donne le nombre de parts donne bien le même résultat numérique que celle qui permet de trouver la grandeur d'une part* .

Une fois ceci compris, on peut aussi dire que 1$ divisé par ½ (dont le résultat en terme de grandeurs sera exprimé en $) aura le même résultat numérique que "1$ divisé par ½ $". Mais là, la réponse est immédiate : 1$ divisé par ½ $ donne comme résultat la réponse à la question : combien de fois un demi-dollar dans un dollar ? Et c'est 2.
Et donc, 1$ : ½ = 2 $.

Je reviendrai plus tard sur les limites de ce raisonnement mais il me semble judicieux en ce cas.»

On remplace 1$ : ½ par 1$ : ½$
Ces deux énoncés n'ont rien en commun si nous nous préoccupons du sens : le second est une mesure, mais le premier n'en est pas une. M. Delord change le sens se 1$ : ½ , voilà qui est peu propice à la compréhension. En fait, il y a clairement « tricherie sur la marchandise " (voir plus haut, commentaire 4 par ... Michel Delord.
Ce dernier rappelle aussi la division partage, mais voila, c'est justement parce que les élèves croient vraiment que diviser c'est partager que 1$ : ½ = 2$ leur est inacceptable. Certes, ici aussi, si nous manipulons la nature des quantités, donc le sens, alors on tire la conclusion que 1$ : ½ = 2$.

Le processus est simple : 1$ : ½ est remplacé par 1$ : ½$ = 2 et on tire la conclusion que 1$ : ½ = 2$.

J'ai appris que des transformations sont justifiées en maths par des propriétés telles la distributivité, la commutativité, ... mais c'est la première fois que je vois une telle transformation qui ne peut à mon avis se justifier que par poudre de Perlin Pimpim ou par abracadabra interposé.

Je donnerai demain des exemples quotidiens de situations où 1$ : ½ = 2$ ou d'autres propositions arithmétiques équivalentes interviennent.

Je manque de temps actuellement car j'ai réussi à répondre aujourd'hui à seulement 20 courriels, ce qui ne représente que la moitié de ce que j'ai reçu.

Robert Lyons

59. Le vendredi 23 septembre 2005 à 16:17, par Mario Asselin :: email :: site

Nous avons eu un débat aujourd'hui là où je suis (ll.univ-poitiers.fr/maste... ) qui ne porte pas sur les mathématiques, mais qui implique des protagonistes du même type que sur ce billet. Je n'ai pu m'empêcher de penser à cette discussion en entendant ce midi, à la cafétéria de l'Université de Poitiers, la définition d'une personne qu'ils appellent ici, un "académique" :
«C'est une personne qui voyant quelque chose être efficace dans la réalité se demande si ça fonctionnerait en théorie.»

Excusez-là ! ;)))

60. Le samedi 24 septembre 2005 à 02:22, par Robert Lyons

Quelle journée! Avec le prix de l'essence qui s'est temporairement approché de 2$ du litre, il faut penser que prochainement les postes d'essence vendront leur précieux liquide au demi-litre et que 1$ pour 1 demi-litre semblera moins dispendieux que 2$ du litre (ce qui se calcule en effectuant : 1$ : ½ = 2$). Comme si cette mauvaise nouvelle n'était pas suffisante, voilà que pendant la moitié du temps où est ouvert mon supermarché, soit pendant 7 heures par jour, le personnel sera réduit ( mon supermarché est ouvert pendant 7h : ½ = 14h.)

J'aimerais leur donner une leçon : la prochaine fois que je m'y rends, j'apporte seulement 20$, ce qui risque de ne représenter que la moitié du prix de ma commande ( Je prévois que cette commande devrait coûter 20$ : ½ = 40$ ) ...

Hum, il semble que la division de quantités réelles par ½ appartienne à notre quotidien. Il est surprenant de constater que des mathématiciens chevronnés, qui divisent facilement un nombre par une fraction, ne soient pas capables d'établir un lien réaliste entre la division 1$ : ½ et ces faits quotidiens. Est-ce que la pratique répétitive de divisions de fractions les aidera ? Sûrement pas! Elle développera leur rapidité, sans plus.

Et où est la compréhension dans cela ? Dans la résolution de problèmes réels d'abord, ce qui, dans ce cas, est à la portée d'un enfant de 7 ans. Dites à un enfant de 7 ans que 1$ représente la moitié de la somme que vous avez et il vous dira sans peine que vous avez 2$. Le tout sans pratique algorithmique préalable, sans mémorisation de principes mathématiques complexes ( savoir qu'en divisant diviseur et dividende par un même nombre ...), le tout aussi sans qu'il soit nécessaire de dénaturer le sens du problème.

Évaluer la compréhension par le biais d'une certaine aisance à manipuler les symboles, la terminologie et les algorithmes mathématiques semble être très risqué. Du moins, je connais des mathématiciens chevronnés qui obtiendraient près du zéro absolu si cette procédure était utilisée afin d'évaluer leur compréhension de 1$ : ½. Et comme il est difficile d'imaginer une division de fractions plus simple ...

Et il me reste encore à répondre à 20 des courriels reçus hier, soit la moitié de ce que j'ai reçu ( 20 : ½ = 40)...

Robert Lyons

61. Le samedi 24 septembre 2005 à 14:48, par Normand Péladeau

Monsieur Lyons, c'est tout ce que vous avez à répondre à propos de mon intervention???

Au fait, je n'ai jamais prétendu qu'il était possible d'évaluer la compréhension de cette façon.

62. Le dimanche 25 septembre 2005 à 01:33, par Robert Lyons

M. Péladeau, SVP relisez le premier paragraphe de l'intervention 58. En fait, votre intervention mérite bien une bonne réflexion.

Il me semble que nous englobons beaucoup de concepts sous le titre de compréhension. Il faut sans doute distinguer divers types de compréhension : relationnelle, instrumentale, formelle comme le faisaient Byers et Herscovitch. Tout comme Skemp, je crois que la compréhension comporte plusieurs étapes, qu'elle n'est peut-être jamais complétée.

Il me semble que ces compréhensions sont inclusives.

Prenons un exemple : il est facile de connaître les gestes à poser afin de faire briller une ampoule électrique qui est contrôlée par deux interrupteurs, comme celles qui illuminent les escaliers. Rapidement, les enfants apprennent qu'en modifiant la position de n'importe quel interrupteur, l'ampoule allumée s'éteint et l'ampoule éteinte s'allume. Mais cela ressemble davantage à une connaissance qu'à une compréhension.

Derrière ces gestes, on peut retrouver une compréhension fondamentale appelée «relationnelle» qui consiste à percevoir que pour qu'un circuit électrique fonctionne, il doit être fermé, c'est-à-dire que le trajet de tout électron du circuit l'amène à revenir sans cesse à son point de départ après son parcours. Le circuit doit donc former une boucle.

Partant de là, il est possible de concevoir un circuit complexe tel celui qui permet de faire briller ou d'éteindre une ampoule à partir de deux interrupteurs. Il s'agit ici d'une sorte de compréhension instrumentale, semblable à la compréhension du fonctionnement d'un algorithme de calcul.

Une autre compréhension, dite formelle, permettra de lier le fonctionnement de ce système à la loi des signes en multiplication.

Il me semble assez évident que la compréhension instrumentale et la compréhension formelle n'existent pas réellement sans la compréhension relationnelle.

Par ailleurs, la compréhension relationnelle, qui permet de résoudre quotidiennement des situations qui correspondent à des divisions par ½, semble plus profonde, plus difficile à disparaître, si cela est possible, que la compréhension formelle qui permet d'associer une égalité à une situation concrète.

Il y a lieu aussi de s'interroger sur ce qui conduit à ces compréhensions. Les compréhensions relationnelles sous-jacentes à l'acquisition du stade opératoire concret sont développées rapidement suite à un conflit cognitif.

Certaines compréhensions relationnelles telles celles qui permettent d'envisager les liens entre la vitesse, le temps et l'espace semblent se développer plus lentement à la suite d'une série d'observations.

Une compréhension instrumentale peut s'acquérir à la suite d'expérientations, d'essais et d'erreurs.

Enfin, la compréhension formelle exige l'intervention de quelqu'un qui possède une connaissance de certaines conventions.

Faire de l'algèbre, c'est envisager qu'un ensemble de cas particuliers ont des éléments semblables. C'est concevoir que le périmètre de tout carré est égal à 4 fois la longueur d'un de ses côtés. C'est une compréhension relationnelle.

Traduire cette relation par une formule représente une compréhension formelle.

Hum, nous sommes loin du problème à l'origine de ce billet, mais, je crois que ces échanges touchent des concepts fondamentaux et que nous en profitons largement.

Merci Gilles de nous permettre de continuer.

Robert Lyons

63. Le samedi 1 octobre 2005 à 18:17, par Michel Delord :: email :: site

Certes nous avons le temps de débattre mais je n'ai pas eu le temps de répondre car j'ai été très occupé et je le serai encore la semaine prochaine par la préparation d'un colloque Franco-Finlandais organisé par la Société Mathématique de France .
smf.emath.fr/VieSociete/R...

Je vous communique l'adresse de l'intervention que je dois y faire car elle n'est pas sans rapport avec les sujets dont nous débattons :
"Programmes de mathématiques de la scolarité obligatoire
Quelques conceptions historiques"
michel.delord.free.fr/com...

Donc, à très bientôt

Michel Delord

64. Le mardi 18 octobre 2005 à 02:04, par Randonneur

Mieux vaut tard que jamais....
J'enseigne au primaire et je suis fondamentalemnt pragmatique dans mon enseignement. C'est dans la résolution de problème que les jeunes apprennent.
Si on demande à deux jeunes de se séparer 20$, la solution vient rapidement...de même si je leur dis:Chacune a droit à la demi du montant, la réponse vient rapidement. Les jeunes perçoivent le 20$ comme l'entier à se diviser. On a 1 à diviser en deux, le 1 deveint 2 demis ou deux parts égales.Donc si on présente la notion à apprendre d'une façon pragmatique, le solution sera pragmatique et adaptée aussi. Les jeunes auront appris.

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Gilles Jobin

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