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1. Le samedi 2 avril 2005 à 19:00, de Libre cours...

Confilts cognitifs: à l'aise ou malaise ?

Excellent billet de Marie-Élaine sur le conflit cognitif ! (pour la petite histoire, j'ai commencé à écrire un commentaire, mais comme j'en avais long à dire, j'ai choisi d'en faire un billet dans mon carnet.) Je me mets moi-même...

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Commentaires

1. Le jeudi 31 mars 2005 à 18:58, par François Deslauriers :: site

Bonjour Gilles,
J'ai parlé de ce problème dans la salle des profs et plusieurs s'objectent tout de même à la réponse! J'aimerais s'avoir, si c'est possible, l'explication de ce problème... c'est assez bizarre, il faut l'admettre... Faut-il en venir à la conclusion que l'infini n'existe pas en mathématique?

2. Le jeudi 31 mars 2005 à 19:26, par François Deslauriers :: site

On pourrait aussi dire que:

1/3 = 0.333...

Or, si on multiplie par 3 on obtiendrait:

1 = 0.999...

3. Le jeudi 31 mars 2005 à 19:41, par Gilles G. Jobin :: email :: site

Hé, hé... on a beau voir la preuve, on continue tout de même de CROIRE que c'est faux... Intéressant.

En fait, y'a aussi tout le concept d'égalité derrière cette preuve.
Par exemple, personne ne s'objecte à ce que
1/3 = 0,3333...
Or, on démontre assez facilement que 0,3333 = 1/3 par la même méthode :
Soit x = 0,333...
10 x = 3,3333...
donc 10x - x = 3,333... - 0,3333...
d'où 9x = 3 et donc x = 3/9 ou 1/3.

C'est tout simplement le même principe appliqué à 0,9999... qui démontre que c'est 1.

Donc 1/3= 0,333... c'est ok avec la majorité des gens.
Si on dit 0,333... = 1/3, la plupart des gens réagiront avec un... " mmmmoui" car ils lisent en fait 1/3=0,3333... (donc, inconsciemment, ils inversent les membres CAR le signe d'égalité (en maths, pas en programmation) permet la chose et comme on SAIT que 1/3 = 0,333... on SAIT AUSSI que 0,333... = 1/3.

Or, pour quasi personne, on a
1 = 0,9999...

On est obligé de passer de droite à gauche pour démontrer l'égalité avec la même méthode que 0,3333... = 1/3.

À mon avis, on touche là un intéressant problème pédagogique quand on enseigne les maths : la compréhension du concept d'égalité qu'on tient, trop souvent, pour acquis.

4. Le vendredi 1 avril 2005 à 00:46, par François Deslauriers :: site

Salut Gilles, j'aimerais que tu commente ce qu'il est dit sur ce site par rapport à cet exercice du 0,999... = 1.

es.ra.free.fr/art0086.php...

5. Le vendredi 1 avril 2005 à 02:09, par Gilles G. Jobin :: email :: site

François : juste la première ligne me fait «tiquer»... et donc, je n'ai pas tellement "confiance" dans cette encyclopédie !

Par ailleurs, voici une autre preuve, cette fois-ci par l'absurde.
Supposons que
1 soit différent de 0,999....
Alors
(1 + 0,999...)/2 est différent de 1 et de 0,999... puisque c'est le nombre situé à mi-chemin entre les deux.
Or, (1 + 0,999...)/2 = 1,999.../2=0,999... ce qui contredit l'hypothèse. Donc, 1=0,999...
Jolie preuve, non?

6. Le vendredi 1 avril 2005 à 02:13, par Pierre Lachance :: email

1,999.../2=0,999 ??? -> 0,9995, non?

Arrondir ou ne pas arrondir? Est-ce qu'on peut laissé tomber des chiffres sans raison?

J'ai du mal à vous suivre les matheux ;o)

7. Le vendredi 1 avril 2005 à 04:18, par Xavier

Toute la difficulté réside dans le fait de savoir si, justement, on admet "Bon, êtes-vous d'accord si j'écris x = 0,999....". Jusqu'à preuve du contraire, 0,99999... n'est pas un chiffre bien (dé-)fini. Dans ce cas, comment le nommer ? Et sans x, pas d'équations problème !

8. Le vendredi 1 avril 2005 à 07:41, par Patrick Moisan :: site

Quelle discussion intéressante. La notion d'infini mathématique peut être très provocatrice en ce qui a trait à nos croyances «intuitives». Il faut faire attention à cet égard. À titre d'exemple, l'ensemble des nombres pairs (qui est un ensemble infini) est «égal» à l'ensemble des nombres entiers (qui est aussi un ensemble infini). Pourtant vous me direz que l'ensemble des nombres entiers contient les nombres pairs et les nombres impairs et, par conséquent, qu'elle doit contenir plus de nombres que simplement l'ensemble des nombres pairs. Et bien non... En terme plus technique, on dit que les deux ensembles sont équipotents (c'est-à-dire qu'il y a bijection). Désolé pour les mots à 10 000$ :-) Quoiqu'il en soit, ne vous laisser surtout pas impressionner par ces mots à 10 000$ et ne me croyez pas sur parole. Ainsi vous continuerez de lire sur le sujet et prendrez le goût des maths ;-)

9. Le vendredi 1 avril 2005 à 13:39, par Gilles G. Jobin :: email :: site

J'ajouterais, sur le commentaire de Patrick, qu'il y a même plusieurs "niveaux" d'infinis. Autrement dit, on peut PROUVER qu'il y a des ensembles infinis «plus grands*» que d'autres... Ce qui contredit le lieu commun du " ajoute quelque chose à l'infini, c'est toujours l'infini". Il ne faut pas oublier que Cantor est mort fou... :-)

* «dont le cardinal est plus grand», le cardinal étant le nombre d'éléments d'un ensemble.

10. Le vendredi 1 avril 2005 à 17:56, par Patrick Moisan :: site

Content que tu ajoutes ce commentaire Gilles. J'avais pensé l'ajouter mais, après mes mots à 10 000$, je me suis retenu un peu :-)

J'espère seulement que les gens ne vont pas croire qu'il s'agit d'un poisson d'avril !

11. Le jeudi 14 avril 2005 à 03:39, par Patrick Moisan :: site

Gilles dit : «À mon avis, on touche là un intéressant problème pédagogique quand on enseigne les maths : la compréhension du concept d'égalité qu'on tient, trop souvent, pour acquis.»

Entièrement d'accord. L'égalité est perçue comme deux plus deux DONNE quatre, alors qu'elle représente l'ÉQUILIBRE entre ce qui se trouve à gauche (2+2) et à droite (4) du symbole d'égalité. Le symbole d'égalité n'est pas une machine dans laquelle entre 2+2 pour en ressortir transformé en 4, mais plutôt une balance à plateaux en équilibre. Donc, quand on voit une égalité, on pense balance :-)

12. Le jeudi 14 avril 2005 à 04:00, par Gilles G. Jobin :: email :: site

L'idée de balance pour visualiser les équations est intéressante mais je l'ai toujours trouvée un peu "tricky".
Par exemple :
x - 2 = 4 (dans Z)
Si on "ajoute" 2 au membre de gauche, l'élève doit "sentir" que le plateau de gauche s'abaissera et, donc, il doit ajouter 2 au membre de droite pour "garder l'équilibre". Ici, l'image fonctionne bien.
Mais modifions cette équation :
x + 2 = 4. (dans Z)
L'élève pourrait alors décider D'AJOUTER -2 au membre de gauche AU LIEU de soustraire 2. Dans le premier cas, puisqu'il "ajoute", cela devrait signifier que le plateau de gauche S'ABAISSE. Or, il ajoute un ENTIER NÉGATIF... D'où le conflit de l'IMAGE et du CONCEPT qu'on aimerait qu'il représente. C'est pourquoi, je crois qu'il faut trouver une autre image qui serait cohérente avec le monde des entiers pour ne pas être obligé de dire à l'élève des trucs du genre " dans le fond, ajouter moins deux C'EST COMME soustraire 2..." car alors, on entre le magique (l'explicatoin du prof qui sait-tout-en-math-et-qui-peut-tout-dire) dans ce qui ne l'est pas.
J'ai pensé à la balance "entière", où l'ajout d'un positif correspond à un bille d'un poids X et l'ajout d'un négatif à un ballon rempli d'hélium qu'on accroche au plateau et qui équilibre exactement la bille de poids X. Ainsi on reste logique avec l'idée des entiers (telle que je l'ai développée dans un autre billet) et l'image semble sauv. Il faudrait voir si cette image, justement, tient la route.

13. Le samedi 23 avril 2005 à 18:59, par fonctiofranck :: email :: site

Si deux nombres réels sont diffrents, alors il en existe au moins un troisième entre les deux autres. Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0.999... et 1 , d'où l'écriture 1 = 0.999...

14. Le samedi 23 avril 2005 à 19:07, par fonctiofranck :: email :: site

... cependant ... je persiste à penser que cette relation est fausse !!! J'explique:
le problème vient du signe "=" qui représente une égalité stricte.
On ne peut donc pas écrire x = 0.999... car 0.999... n'est pas une valeur exacte. Je ne saurais vous conseiller d'aller sur le site suivant: es.ra.free.fr/art0086.php... , site sur lequel une personne explique mieux que moi !

15. Le samedi 23 avril 2005 à 22:22, par Marie-Élaine :: email

Oui 0.999... Est une valeur exacte parce que le ... est la période, c'est zéro virgule neuf périodique qui est égale à 1.

16. Le lundi 5 décembre 2005 à 07:16, par pasmathematicien

ques ce que les chinois en pense avec leur bouliers

17. Le lundi 5 décembre 2005 à 08:27, par pas mathematicien

4 personnes sont éternels, imortels, soit: A B C et D. La fortune de A sélève a 1$. B C et D se divise en part égale un héritage de 1$. Instinctivement
ils ont .33$ respectivement.
0.01$ reste a diviser. Ils prennent
cet entente de convoitise, le dernier
vivant prendra la part. Donc peut-
ont dire que la fortune de A est égal
a celle de B+C+D?

A ou 1 sont intègre, provenant
d'unité pur.

N'ègale pas

B+C+D ou .33...+.33...+.33...

ils sont corrompu car ils proviennent d'une convertion de tier.
L' infini ou convoitise de l'infini... a l'occurrence .999...
ne se résout jamais et ne peut en aucune facon devenir parfaitement égal a la pureté de 1.

18. Le lundi 2 janvier 2006 à 17:53, par jean-gaudens :: email

"sodomisation de diptères"...!!
de Giordano Bruno à Cantor la quête de l'infini peut s'avérer plus dangereuse que celle du Graal ;
bon courage quand même

19. Le vendredi 6 janvier 2006 à 17:56, par Xelis :: email

J'avais écrit un commentaire, mais y'a eu une erreur, donc le revoici. Il y a plus jolie comme démo :
0,999... peut s'écrire comme la somme de n=1 à l'infini des 1/(10^n).
Or il est bien connu que 1/(10^n) est une suite à progression géométrique, donc cette somme peut se simplifier et on trouve alors 0,999...=(9/10)/(1-1/10)
Pour ceux qui ne le savent pas, la somme des termes d'une suite géométrique est égale à (premier terme - dernier terme)/(1 - raison).
D'où 0,999...=1

20. Le lundi 20 mars 2006 à 20:42, par Catherine

Désolé, j'arrive en retard dans la discussion. Je suis en train de faire des recherches sur la possibilité que 0.99... = 1 et malgré tout ce que j'ai lu sur ce sujet, je n'en suis toujours pas persuadée...
je n'ai pas encore abordé les suites, mais quand on dit que la limite de la suite 0.999... vaut 1 et ce que cela ne veut pas dire que 0.999... tend vers 1 plutôt que 0.999...= 1 ?
Est-ce que cette égalité est officiellement reconnue dans le monde des mathématiques ou est-elle encore à débattre ?

21. Le lundi 20 mars 2006 à 21:03, par Gilles G. Jobin :: email :: site

Catherine,
Mon billet illustre pourtant la PREUVE que 0,999.... = 1 .
Si vous mettez en doute cette preuve, alors vous devez aussi douter de l'énoncé :
0,3333.... = 1/3, puisque, essentiellement, c'est absolument la même démarche.
Il ne s'agit non pas ici de CROYANCE mais bien d'une preuve mathématique.

22. Le dimanche 26 mars 2006 à 20:15, par Catherine

Bon, alors je l'admets. Mais vous n' avez pas répondu à mes deuxquestions, et j'en ai maintenant trois !
-Est-ce que cette égalité est reconnue par tous les mathématiciens ? Parce qu' apparemment il ya encore des débats.
-Est-ce que lorsqu'on dit que la limite de la suite 0.999... tend vers 1 cela veut aussi dire que 0.999... est égal à 1 ?
Et enfin, si 0.999... =1 est-ce qu'on peut dire que tout les nombres finis (je veux dire les nombres qui ont un nombre fini de décimales) ont deux possibilités d'écriture ? Par exemple 0.3 peut aussi s'écrire 0.299...

23. Le lundi 27 mars 2006 à 02:42, par Gilles G. Jobin :: email :: site

"-Est-ce que cette égalité est reconnue par tous les mathématiciens ? Parce qu' apparemment il ya encore des débats."

Difficile pour moi de répondre pour TOUS les mathématiciens, mais d'après moi, la réponse est OUI. Je ne suis pas vraiment au courant des débats, mais ceux sur lesquels je suis tombé sont des débats de NON-mathématiciens.

"-Est-ce que lorsqu'on dit que la limite de la suite 0.999... tend vers 1 cela veut aussi dire que 0.999... est égal à 1 ?"

Faudrait s'entendre sur le mot suite. À mon avis, seul 0,9999... n'est pas une suite. La suite serait plutôt :
0,9
0,99
0,999
0,9999
0,99999
etc.

"Et enfin, si 0.999... =1 est-ce qu'on peut dire que tout les nombres finis (je veux dire les nombres qui ont un nombre fini de décimales) ont deux possibilités d'écriture ? Par exemple 0.3 peut aussi s'écrire 0.299..."

Oui.

24. Le samedi 1 avril 2006 à 17:55, par Catherine

Merci pour la réponse.
J'ai admis que 0.999...=1 à cause des démonstrations, mais je continue à trouver ça bizarre. Parce que si on dit 1 = 0.999... alors 1 - 0.999... = 0. Mais est-ce qu'on peut vraiment admettre que cette différence est nulle ? Est-ce que ce n'est pas un peu comme si on admettait par défaut que la fonction inverse était définie en 0 ? Seulement parce qu'on ne peut pas définir un nombre "infiniment petit"...

25. Le mercredi 13 juin 2007 à 14:09, par Carpaccio

Le problème surtout, c'est que la démonstration est basé sur une erreur, qui est que la différence de deux nombres qui ne sont pas finis, ne peut pas être finie. Tout est une question de raccourci. 9,99999999... -0,999999999 ne donne exactement 9 que si il y a exactement le même nombre de 9 après la virgule. Or ce n'est pas possible puisque c'est infini. Maintenant admettons que cela soit pas si infini que ça, alors 10x aura un 9 de moins que x, donc la difference des deux donnera 9,0000000...000001 ce qui n'est pas égal à 9. Donc simplifier 9,0000...00001 en 9 c'est comme simplifier 0,9999999999999 en 1.

Le probleme c'est le concept d'infini d'un chiffre fini. Ecrire 1/3=0,33333333333 c'est arbitraire, alors qu'il faudrait l'écrire mathématiquement 1/3=0,3+Somme (n=1->Infini) 1/10^-n. Là c'est sur c'est beaucoup moins beau et surtout moins impressionnant.

1/3=0,3333333x3=0,99999...=1 démontre bien toute l'absurdité d'écrire 1/3=0,33333333 la preuve etant que la 1/3 est une façon finie d'écrire un chiffre infini. Tout ceci n'et pas une question de mathématique mais de sémentique

26. Le mercredi 13 juin 2007 à 17:16, par Gilles Jobin :: email :: site

Hum ... Donc, Carpaccio, vous refusez d'admettre que 1/3 est ABOLUMENT ÉGAL à 0,3 périodique. Pourtant, tous les mathématiciens semblent bien s'accoder sur ce fait.

27. Le mardi 3 juillet 2007 à 02:07, par Daniel

soit e représentant epsilon, un nombre infiniment petit qui tend vers zéro mais qui n'est jamais nul:

x = 0.999999999... (une infinité de 9)
x = 1 - e
10x = 10 - 10e
10x - (x) = 10 - 10e - (1 - e)
10x - x = 10 - 10e - 1 + e
9x = 9 - 9e
(retour à la case départ en divisant par 9)
x = 1 - e

on ne manie pas l'infini comme un nombre, les erreurs sont faciles à faire et aboutissent a des résultats complètement faux.
tout ce qu'on peut dire c'est que 0.999999999... (avec un infinité de 9) tend vers 1 lorsque le nombre de 9 tend vers l'infini, de la même façon que 1 - e tend vers 1 lorsque e tend vers zéro.
mais e n'est jamais nul et en aucun cas on aura l'égalité exacte 1 = 0,... (non je l'écris pas)
donc tout à fait d'accord avec Carpaccio et aucun mathématicien ne doit admettre cette égalité.

28. Le mardi 3 juillet 2007 à 02:24, par Gilles G. Jobin :: email :: site

Daniel,
vous trouverez une très longue discussion sur ce même thème est ici :
www.developpez.net/forums...
Sa lecture devrait vous convaincre que 0,999... et 1 sont égaux.

29. Le mardi 25 septembre 2007 à 16:41, par henri2757

Je voudrais apporter quelques notions de mathématiques élémentaires pour éclairer le débat.

Si en physique la notion d’infini (infiniment petit ou infiniment grand) est relativement facile à établir car on sait que le monde réel, qui ne comporte que quatre dimensions, est discontinu, que le quanta peut être défini comme la plus petite quantité existante dans l’univers, que la vitesse de la lumière est la limite extrême de toute vitesse connue dans l’univers et que le chiffre d’« Edward Kasner » 10 puissance 100 le fameux « google » que Page et Brin ont repris pour baptiser leur moteur de recherche est la grandeur limite de l’univers, en mathématique il n’en va pas de même.

Tout d’abord en mathématique l’infini n’existe pas, c’est un concept que l’on ne peut manipuler qu’avec prudence. Dans la fameuse formule en question 0,999…= 1, c’est le terme 0,9999… avec des neuf à l’infini qui pose problème.

Attention on peut tout à fait écrire en mathématique que 0,99999….= 1 aucun mathématicien aussi puriste soit-il ne trouvera rien à redire, comme d’ailleurs dans certaine démonstration on peut accepter les formalismes tels que f (inf) = 1 ou 0/inf = 0, mais attention tout bon mathématicien sait implicitement que ces formulations sont des barbarismes ou plus simplement des abus d’écriture.

Quelques notions sur les Ensembles
Intéressons nous à un ensemble particulier l’ensemble Q (Quotient ou fraction), qui regroupe l’ensemble des fractions tels que (…1/1 ; 1/2 ; 1/3 ;1/4 ; 1/5…) positives ou négatives.
Cet ensemble est à la fois simple et parfaitement défini et aucun mathématicien sérieux n’écrira l’ensemble Q de la manière suivante (… ;1 ; 0,5 ; 0,333… (avec des 3 à l’infini) ; 0,25 ; 0,20…). Ecrire 1/3=0,3333…. accompagné de la phrase « avec des trois à l’infini » n’à aucun sens 1/3 = 1/3 E de Q point à la ligne.

Quelques notions sur les limites
En mathématique lorsqu’on utilise la notion d’infini on n’utilise jamais le mot « égal » la définition même de l’ensemble R ensemble des nombres réels peut ce formuler ainsi ]-inf ;+inf [ ce qui implique bien que le -inf et le +inf ne font pas partis de R et n’ont d’ailleurs aucun sens.

En mathématique on utilise la notion de limite et les notions de minorant et majorant qui implique la convergence ou la divergence..

Et ce fameux 0,9… avec des neuf à l’infini s’écrira sous la forme d’une série 9 x 1/10^n dont la limite est égale à 1 quand n tend vers l’infini. La formulation d’une telle limite s’écrira donc :

Limite (9/10 + 9/100 + 9/1000+…9/10^n) quand n tend vers inf = 1

Il est faux d’écrire que cette limite est égale à 0,999…. car cela reviendrait à dire que la limite d’une série Sn est égale à cette même série Sn. De plus cela serait mathématiquement faux car la série 9/10n est convergente car minorée par 9/10 n+1 donc sa limite ne peut être que 1.

Quelques erreurs grossières relevées dans les différentes tentatives de faire passer les vessies pour des lanternes.

1. Dire que 1/3=0,3333…. et par là même que 3x0.3333…=1/3x3=1 est absurde (relire plus haut) l’égalité 1/3=0,3333… (avec des 3 à l’infini) est un abus de formulation « l’infini n’existe en mathématique que dans la théorie des limites » on devrait dire quand le nombre de 3 tend vers l’infini.

2. Dire que a et b dans R2 sont égaux s’il n’existe aucun nombre possible c dans R entre a et b, OK sauf si l’on parle d’infini, car entre (9/10+9/100+…+9/10^n) et 1, il existe (9/10+9/100+…+9/10^n) + 9/10^n+1 ; 9/10^n+1 est toujours un minorant donc retour au limite (si on parle d’infini, toujours par abus d’écriture, on peut comprendre que infini = infini + 9/10^n+1).

3. En ce qui concerne la fameuse démonstration

X=0,9999….
10 x X =9,999…
10x X – X = 9xX = 9
Et donc que X=1 CQFD

On a déjà dit que X=0,9999… « avec des 9 à l’infini » est un abus d’écriture revenons à la formulation indiscutable des séries.

X = (9/10+9/100+ ……+9/10^n) nous verrons par la suite la limite.

10xX= (9+9/10+………+9/10^n-1)

10xX-X=9X= (9+9/10+………+9/10^n-1)- (9/10+9/100+ ……+9/10^n) = 9 -9/10^n

D’où
X=1 – 1/10^n et non pas 1

Et par la suite si nous intégrons la formulation complète avec la notion de limite

X = limite (9/10+9/100+ ……+9/10^n) quand n tend vers inf
10xX= limite (9+9/10+………+9/10^n-1) quand n tend vers inf
10xX-X=9X= limite (9+9/10+………+9/10^n-1) quand n tend vers inf - limite (9/10+9/100+ ……+9/10^n) quand n tend vers inf
= limite [(9+9/10+………+9/10^n-1)- (9/10+9/100+ ……+9/10^n)] quand n tend vers inf

Donc
9xX = limite (9 -9/10^n) quand n tend vers inf = 9

X=1 c’est bien la limite cherchée.

Un peu de mathématique pratique et d’arrondi ce que beaucoup de gens ont dans la tête sans pouvoir l’exprimer.

Plutôt de nous intéresser à la limite de 0,9999…. intéressons nous à une série qui permet de définir l’ensemble des séries dérivées je veux parler de la série 0,11111……
En effet si :
Limite (9/10 + 9/100 + …+9/10^n) quand n tend inf =1
On peut écrire
9 x limite (1/10 + 1/100 +….+ 1/10^n) quand n tend inf =1
Et donc que
limite (1/10 + 1/100 +….+ 1/10^n) quand n tend inf = 1/9

de cette limite on peut en déduire toute les autres limites
limite de 0,2222….= 2/9
limite de 0,3333….= 3/9 = 1/3
limite de 0,4444….= 4/9
limite de 0,5555….= 5/9
limite de 0,6666….= 6/9 = 2/3
limite de 0,7777….= 7/9
limite de 0,8888….= 8/9
limite de 0,9999….= 9/9 = 1 (évidement)

Problématique de l’arrondi
Lorsqu’on veut arrondir de tels nombres il faut définir l’ordre le l’arrondi, par exemple l’arrondi d’ordre 2 de 0,444….=0,44 l’arrondi d’ordre 4 de 0,555….= 0,5556 etc.
Mais si l’on veut arrondir 0,999… à n’importe quel ordre, que ce soit 1 ou 10 l’arrondi sera toujours égal à 1.
D’où la confusion entre arrondi de 0,999…qui est toujours 1 et la déduction fausse que 0,999…= 1.

30. Le mercredi 26 septembre 2007 à 01:15, par Gilles G. Jobin :: email :: site

Je renvoie henri2757 au commentaire no.28.
Et j'aimerais bien trouver un mathématicien professionnel qui me dirait que
1 n'est pas égal à 0,9999....
car alors je lui demanderais de me trouver la différence entre ces deux nombres...
Autre référence : en.wikipedia.org/wiki/0.9...

31. Le mercredi 26 septembre 2007 à 12:37, par henri2757

Moi je vous renvoie au commentaire 27 de Daniel
C’est sans doute (bien que le mot infinité me gène) la meilleure démarche intellectuelle (et mathématique) que j’ai pu voir sur les différents sites visités.

Part contre je suis allé comme vous me l’avez conseillé sur le site www.developpez.net/forums... ainsi que sur le site en.wikipedia.org/wiki/0.9... et j’en suis resté consterné.

Cela confirme une impression que j’ai depuis longtemps sur Internet, les gens qui s’y expriment ne sont pas, comme vous le dites, des professionnels.
Tout est affirmation péremptoire et approximative, aucune référence à aucun traité mathématique fiable. On y parle d’infini potentiel et d’infini actuel sans savoir de quoi on parle, on y prétend que e c’est un nombre pur ?? (dans quel traité de mathématique, écrit par quelle sommité du monde des mathématiques, peut-on lire cela ?)

J’ai aussi des craintes que Wikipedia ne devienne une encyclopédie populiste ou celui qui écrira le plus fort aura raison.

Comme je l’ai déjà écrit dans mon précédent commentaire 0.999… (avec une infinité de 9) n’est pas mathématiquement correct que l’on l’utilise en physique en mécanique pour des calculs pratiques absolument d’accord mais qu’on n’en fasse pas une théorie mathématique ou alors qu’on écrive à la rigueur « limite de (0,9999…) =1 »

A nouveau 3 démonstrations rigoureuses de l’absurdité des raisonnements, à l’emporte pièce, que l’on voit sur le Net.

Comme je l’ai déjà dit écrire 0,999… est un abus d’écriture.
On doit en mathématique parler de série pour formuler un tel nombre.
On pourra donc écrire que ce nombre qu’on appellera X= somme (9/10^n) avec n aussi grand que l’on souhaite (majoré par n+1), pour être rigoureux il faut aussi ajouter n Elément de N = [0, infini[ vous voyez que l’infini n’est pas élément de N donc la formulation 0,999… avec une infinité de 9 n’a pas de sens.

Petit rappel sur les séries

Soit 2 séries Un et Vn (convergente ou divergente)
Un=u1+u2+…+un
Vn=1+v1+v2+…+vn
Dans lesquelles (implicitement u0=0 et v0=1)
Si je définis la série Wn=Un+Vn
La plus part des adorateurs de 0.999… écrirons
Wn=u1+u2+…+un+1+vn+…+vn
Ou encore Wn=(1+u1)+(u2+v1)+…+(un+vn-1)+vn
Ces forme d’écriture ne sont pas fausse en soi elles sont simplement sources d’erreurs grossières lors de futures manipulations, on risque simplement d’ajouter des carottes et choux. C’est exactement ce qui se passe dans la démonstration 10xX-X.
La seule écriture qui soit parfaitement rigoureuse c’est donc Wn= 1+w1+w2+…+wn avec wn=un+vn

Pour terminer cet exposé je vous parlerais de vrai traité de mathématique sur « l’art d’accommoder les reste » car dans l’écriture de X=1-1/10^n c’est bien le 1/10^n (qu’on appelle reste) que tout le monde semble oublier. Et pourtant des mathématiciens illustres se sont penché sur ces restes qu’aujourd’hui personne ne veux. Rappelez-vous de MacLaurin et de Taillor avec restes de Young de Lagrange reste intégral…

Une dernière démonstration pour tenter de faire comprendre l’absurdité de l’écriture de 0,9999….
Dans la formule que j’ai défini plus haut (et qui est incontestablement vraie) X=1-1/10^n, si je suppose que l’infini existe, on voit que quand n est égale à l’infini le reste s’écrit 1/10^n = 0,0000………1 avec une infinité de 0 entre la virgule et le 1 et que 1-0,0000……….1=0,9999….. Absurde non ?

32. Le jeudi 27 septembre 2007 à 06:39, par Ouranos

Une autre preuve à laquelle j'ai pensé qui démontre bien un problème au niveau de l'écriture est que si on écrit 0,1111...*9 instinctivement nous dirions que c'est égal à 0,9999... Mais si on affirme cela on accepte aussi de dire que 1/9*9 = 0,9999... ce qui est évidemment faux. Donc en refusant d'admettre que 0,1111...*9 = 0,9999... On se doit donc inévitablement de refuser une pareille écriture d'un nombre.

Donc, si on reviens au fait que 0,9999... = 1, cette égalité devient fausse du à la démonstration précédente, dans laquelle on a prouvé que la notation 0,1111... était innacceptable :P

33. Le jeudi 27 septembre 2007 à 12:30, par Gilles G. Jobin :: email :: site

En maths, il faut éviter ce genre de phrase :
"1/9*9 = 0,9999... CE QUI EST ÉVIDEMMENT faux."

En effet, puisque 0,999.... est une autre manière d'écrire 1,00000, la pseudo-évidence-fausse tombe d'elle-même...

34. Le jeudi 27 septembre 2007 à 13:12, par Gilles Jobin :: email :: site

J'ajoute un petit mot à propos de l'infini. Dans un commentaire précédent, henri nous dit qu' "en mathématique l'infini n'existe pas". C'est une affirmation bien gratuite. Les mathématiques jouent avec des concepts. Les concepts "2", "carré", "droite", "l'infini", ne sont que cela : des concepts. Pour moi ces idées existent bel et bien. Et peu importe les concepts, ils doivent être manipulées avec soin.

35. Le mardi 2 octobre 2007 à 21:55, par IM

Lorsque je tombe sur une discussion portant sur cette pseudo-polémique « 0.9... = 1 », je suis toujours véritablement fasciné par les commentaires des divers « partisans du contre ». Cet assertion heurte si fortement leur intuition qu'ils refusent de reconnaître l'évidence mathématique. Ainsi, le réel intérêt de ce débat n'est pas tant de savoir qui a raison - les preuves mathématiques répondent à cette question bien assez clairement - mais d'étudier la vision que se font les gens des Mathématiques et du concept de limite.

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