Loué soit l'infini
Labyrinthe des effets et des causes,
Qui, avant de me présenter le miroir
Dans lequel je ne verrai personne ou je verrai un autre,
M'accorde la pure contemplation
D'un langage de l'aube.
Jorge Luis Borges


Découvert grâce au Blog-notes de mathématiques du Coyote des questionnaires à choix multiples en ligne.

Pour réaliser certains apprentissages, les exerciseurs sont des accessoires fort utiles. En attendant que je produise un billet expliquant le rôle important qu'ils possèdent, voyez tout de même cette première question, dont vous voyez la réponse affichée par l'ordinateur sur un de mes mauvais choix. (J'avais, avant de prendre une copie d'écran, choisi D)

La question est : si x=24, indique le plus petit ensemble auquel x appartient.



La question est intéressante. D'abord pourquoi si x=24 ? Pourquoi ne pas avoir demandé tout simplement d'indiquer le plus petit ensemble auquel 24 appartient ?

Mais, plus intéressant encore est le choix du mot petit. Qu'est-ce qu'un petit ensemble ? Comment comparer deux ensembles ? Si un ensemble est inclus dans un autre, ce premier est-il nécessairement plus petit que ce dernier ?

Voyons un peu. Prenons deux sacs, l'un contenant 5 oranges, l'autre 5 pommes. Y a-t-il un sac plus petit que l'autre ? Que compare-t-on ? Généralement, l'enseignant désire que les élèves comparent le nombre d'éléments appartenant à l'un et à l'autre. Ici, on a cinq éléments dans chacun, donc aucun des sacs n'est plus petit que l'autre.

Revenons à 24. Bien sûr, il est dans le sac des Naturels, le sac des Entiers, etc. Mais lequel de ces sacs est le plus petit ? Il a été démontré depuis plus d'un siècle maintenant que N, Z, Q ont la même cardinalité, c'est-à-dire qu'ils possèdent le même nombre d'éléments. Il a par ailleurs été démontré que R possède une cardinalité plus grande que ces derniers. Oui, oui, R possède plus d'éléments que N (lui-même en possédant une infinité !). Tout cela pour dire que N, au regard du concept de la cardinalité, n'est pas le plus petit des ensembles !

L'autre manière, plus intuitive, de définir plus petit pourrait être : On dit qu'un ensemble A est plus petit qu'un ensemble B si tous les éléments de A sont éléments de B et si B possèdent au moins un élément qui n'est pas dans A.

Cette définition intéressante apporte aussi son lot de difficultés. Par exemple, dans le cas des 5 oranges et des 5 pommes, on ne pourrait rien dire sur la petitesse de l'un par rapport à l'autre. Dans un cas on a des pommes, dans l'autre des oranges. Par ailleurs, une pomme ne peut être dans deux sacs en même temps, car la définition sous-entend que les mêmes éléments se trouvent dans l'un comme dans l'autre. On règle ce dernier problème en posant l'idée de pomme et l'idée d'orange. Autrement dit, on tient pour acquis que toutes les pommes sont l'idée unique pomme.

Vous croyez peut-être que dans les ensembles de nombres, puisque ce sont tous des nombres, on n'a pas ces différences du type pomme/orange. Erreur ! Par exemple, 24 est bien dans l'ensemble des nombres naturels. Mais est-il vraiment dans l'ensemble des entiers ? Dans ce dernier, il y a bien un +24 (que plusieurs écrivent 24) mais ce n'est pas du tout le même nombre. +24 possède en lui l'idée d'un opposé (-24) ce que n'a pas du tout le 24 naturel. Autrement dit, ils ont la même apparence, mais ils ne véhiculent pas la même idée.

Bon, comment alors aurais-je réglé cette première question du QCM ? Tout simplement en donnant les choix A à D corrects, mais en ajoutant une note explicative à chacune des réponses. Par exemple, on choisissant Q, j'aurais envoyé à l'élève quelque chose comme « Tu as raison. Mais 24 peut aussi être considéré comme un élément de N et Z. »