Jobineries

Ce billet de François m'a trotté dans la tête toute la journée. L'illustration géométrique et très connue de 3x4 = 4x3 me chicotait l'esprit.

Regardez bien : (ici le symbole «x» représente le mot «fois» et non «multiplié par»)

97 x 93 signifie :

93 + 93 +   ...   + 93 
^                    ^
|_______97 fois______|

et 93 x 97 signifie :

97 + 97 +   ...   + 97 
^                    ^
|_______93 fois______|

Regardez encore une fois ce que signifient ces deux expressions. Ne trouvez-vous pas étonnant que cela donne le même résultat? Bien sûr, sans effectuer aucun calcul, vous savez que le résultat est le même, mais il reste que cela semble relever du pur hasard ou encore d'un effet magique des nombres. Je signale cet exemple pour vous faire sentir le côté fantastique (fantasque?) des nombres, pour qu'à quelque part, vous soyez émerveillés par la commutativité. Or, à mon avis, lorsqu'un enfant peut expliquer pourquoi ça marche, pourquoi les deux produits doivent être identiques, alors, et seulement alors, est-on convaincu que le concept de la commutativité de la multiplication chez les naturels est acquis, et est acquis pour toujours. Le rôle de l'enseignant est de s'assurer que l'élève construit sa propre représentation de cette commutativité.

J'ai reçu aujourd'hui un exemplaire gratuit de Panoram@th, manuel de mathématique pour la première secondaire de Cadieux, Gendron et Ledoux publié chez CEC.
Comme j'ai une prédilection particulière pour les nombres entiers, j'ai immédiatement sauté aux pages dédiées à ce savoir.
L'introduction est une situation-problème (?!?) où on nous dévoile les opinions que les peuples ou certains penseurs avaient des nombres négatifs.
Ce qui me choque est l'affirmation que « ce n'est pas un hasard si l'on qualifie les nombres entiers positifs de nombres naturels ». C'est là une grave erreur qui risque de mêler grandement les élèves. Pour moi, 2 (naturel) n'est pas +2 (entier). Dans le 2 naturel, l'enfant doit y voir cette idée qui entoure tous les ensembles de 2 éléments. Par exemple, 2 fenêtres, 2 dollars, 2 briques, etc. C'est ainsi qu'on développe l'idée du nombre naturel. Alors que +2 représente une tout autre idée. Dans +2, on groupe tous les ensembles dont on sait qu'il peut y avoir un opposé (ici, -2). Par exemple, +2 pour deux pas à droite, (-2 représentant 2 pas à gauche), +2 pour monter de deux marches, -2 descendre de deux marches, etc. Donc +2 est conceptuellement très différent de 2. Par exemple dans 2 fenêtres, il ne viendrait pas à l'idée d'écrire que nous avons +2 fenêtres. Cela serait tout simplement incohérent car l'idée de -2 fenêtre(s) n'existe pas. Cela dit, plus tard dans le cheminement de l'enfant, lorsqu'on abordera l'idée de sous-ensemble, on peut à ce moment-là faire découvrir que le sous-ensemble de Z composé des nombres positifs possède les mêmes propriétés que l'ensemble des naturels. Ce sont les propriétés opérationnelles (associativité, commutativité, etc.) qui sont semblables, non pas les nombres ! En résolution de problème, ce discernement est très important, car l'élève doit déterminer le contexte dans lequel se déroule le probleme et, par là, justifier l'ensemble des nombres à employer pour le résoudre.

Trois pages plus loin, dans la section Calepin des savoirs, on définit les entiers positifs comme des naturels affublés d'un signe plus ! Et dans l'encart supérieur, sans rien justifier, on mentionne qu'on n'est pas obligé de mettre le plus. Les auteurs n'hésitent pas une seconde, quelques lignes plus bas, à nous envoyer une belle droite numérique où tout est en ordre. (Dans un billet futur qui est actuellement en cours de rédaction - un dialogue entre un prof et un élève - , je démontrerai l'incohérence de cette approche.) Pédagogiquement parlant, je suis tout à fait contre le fait d'enlever ce signe positif quand on est élève débutant avec la manipulation des entiers. Il faut au contraire toujours le garder pour bien signifier que l'univers dans lequel on travaille est celui des nombres entiers et non celui des naturels.
Un peu plus loin, page 133, on mentionne comment soustraire des entiers. Là, je suis tout à fait heureux, car les auteurs illustrent bien que soustraire c'est réellement enlever des éléments à un ensemble. Mais les illustrations se contentent de montrer des soustractions naturellement possibles du genre :
+5 - +2 = +3
-5 - -2 = -3
C'est sur l'autre page que tout ce gâche, car les auteurs ne semblent pas avoir réfléchi aux cas très réels du genre :
-2 - -5 ou +2 - +5.
On nous envoie alors la belle règle sortie d'on ne sait trop où qui stipule que soustraire, c'est additionner l'opposé.

Une chose est certaine, jamais je ne conseillerai d'acheter ce livre. Il contient tout ce que j'exècre en matière de manuel de maths. Notez que ce n'est pas particulier à ce livre : presque tous les manuels que j'ai consultés sont un galimatias d'inepties et de laxisme intellectuel au regard des nombres entiers.