Le problème n'est pas tant de chercher les solutions que de trouver une méthode pas trop calculatoire.
Au passage une des deux solutions proposée est fausse 10000000001 compte 11 chiffres et 10^9+1 donne au carré 10^18+2*10^9 +1 et n'est donc pas solution...
Quels sont les derniers chiffres possibles pour les solutions : le dernier chiffre du carré est donné par le dernier chiffre du nombre. 0->0, 1->1, 2->4, 3->9, 4->6, 5->5, 6->6, 7->9, 8->4, 9->1
Il ne nous reste comme possibilité que 0, 1, 5 et 6. On vérifie rapidement que 0 et 1 ne débouchent que sur des solutions triviales, pour autant que 0000000000 = 0 et 0000000001 = 1 puissent être considérés comme des nombres à 10 chiffres.
Pour le reste on va construire progressivement la solution en développant le carré en partant de la fin.
On essaye d'abord 5 :
(10x+5)² = 10x²+20x+25
Ce qui donne pour le chiffre suivant : 2
Et ainsi de suite :
si on connaît le début D (la fin) de la solution jusqu'au chiffre n :
(10ⁿ·x+D)² = 10²ⁿ·x+2D10ⁿ·x+D²
D se termine par 5 donc le double produit est en 10ⁿ+1 donc le chiffre suivant est donné directement par D² !
Pour éviter de calculer les 9 carrés successifs (alors que les produits élémentaires sont les mêmes) je propose la méthode suivante :
Je crée un tableau à 10 colonnes dans lesquelles je porterai les 10 chiffres au fur et à mesure de leur calcul. Je porte donc le 5 dans la colonne 10. Je le porte également à droite et je commence ma multiplication : chiffre de gauche (5) par chaque colonne connue (5). Je porte le 25 dans le tableau en le cadrant à droite (pas de puissance de dix). J'ai fini les calculs pour cette étape : la somme de la colonne 9 donne 2 donc le 9ème chiffre est 2.

N°	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Chiffre										5	Chiffre
									2	5	5

Je reporte le 2 à droite et je fais mes multiplications : x5 double produit donne 20 cadré sur la 9ème colonne car fois 10^1, x2 carré simple donne 4 en 8ème colonne car 10². La 8ème colonne donne 6 qui est donc le 8ème chiffre.

N°	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Chiffre									2	5	Chiffre
									2	5	5
								2	0		2
								4
								6	2	5

Je reporte le 6 à droite et x5 double produit donne 60 cadré sur 8ème, puis 6x2x2 = 24 en 7ème et 6x6 = 36 en 6ème ce qui me donne 0 en 7ème chiffre.

N°	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Chiffre								6	2	5	Chiffre
									2	5	5
								2	0		2
								4
								6	2	5
							6	0			6
						2	4
					3	6
					3	9	0	6	2	5

Et ainsi de suite. Cela donne :

N°	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Chiffre		2	1	2	8	9	0	6	2	5	Chiffre
									2	5	5
								2	0		2
								4
								6	2	5
							6	0			6
						2	4
					3	6
					3	9	0	6	2	5
					3	9	0	6	2	5	0
					9	0					9
				3	6
		1	0	8
	8	1
	8	2	1	2	8	9	0	6	2	5
				8	0						8
			3	2
		9	6
	4
	3	2	1	2	8	9	0	6	2	5
			2	0							2
			8
	2	4
	5	7	1	2	6	9	0	6	2	5
		1	0								1
		4
	2
	8	2	1	2	6	9	0	6	2	5
	2	0									2
	8
	8	2	1	2	6	9	0	6	2	5

On a une première solution : 8 212 690 625
Avec 6 cela se complique un peu. Le double produit donne 12x. Lors du calcul de la nième colonne, si on trouve le chiffre C, il reste à trouver x tel que 2x+C a pour dernier chiffre x Calculons les 2x
x=1->2->C=9
x=2->4->C=8
x=3->6->C=7
x=4->8->C=6
x=5->0->C=5
x=6->2->C=4
x=7->4->C=3
x=8->6->C=2
x=9->8->C=1
x=0->0->C=0

On peut donc pour C donné trouver x unique (c'est en fait le complément à 10) et appliquer à cette variante près la même méthode :

N°	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Chiffre	1	7	8	7	1	0	9	3	7	6	Chiffre
									3	6	6
								8	4		7
							4	9
							5	7	7	6
							3	6			3
						4	2
						9
					1	4	1	3	7	6
					1	0	8				9
				1	2	6
				5	4
			8	1
			8	7	9	0	9	3	7	6
			8	7	9	0	9	3	7	6	0
				1	2						1
			1	4
			6
	1	8
	1	9	6	3	1	0	9	3	7	6
			8	4							7
		9	8
	4	2
	6
	3	2	2	7	1	0	9	3	7	6
		9	6								8
	1	2
	8
	3	3	8	7	1	0	9	3	7	6
	8	4									7
	8
	9	7	8	7	1	0	9	3	7	6
	2										1
	1	7	8	7	1	0	9	3	7	6

Ce qui donne la deuxième solution qui était déjà connue : 1 787 109 376

A priorité la méthode se continue à l'infini, sauf malchance (?). En dehors des cas où l'un des chiffres en position n vaut zéro, on a donc deux nombres à n chiffres dont le carré se termine par lui même.