Soient A1,B1,C1 puis A2, B2, C2 les positions des mobiles A, B, C et a1,b1,C1 et a2, b2, c2 les distances parcourues Attention : OA1=a1, OB1=b1, etc. mais OC2 <> c2
L'énoncé donne
1. c1 = a1+8
2. c2 = b2+16/3

Soit C'2 le point qu'aurait atteint C s'il avait continué tout droit.
(Cette fois OC'2 = c2)
De par les caractéristiques des mouvements de A, B et C données par l'énoncé :
O, A1, C1, B1 est un rectangle, O, A2, C'2, B2 également et il est semblable au précédent puisque les vitesses sont constantes.
O, C2, C'2 sont alignés,
A2, C2, B2 également
C2 est donc à l'intersection des deux diagonales de O, A2, C'2, B2
or OC2 = c1-(c2-c1) = 2c1-c2
il vient 2c1-c2 = c2/2 soit c1 = 3/4c2
et donc b1 = 3/4b2 et a1 = 3/4a2
2. devient donc
4/3 c1 = 4/3b1 +16/3
c1 = b1+4
Reste à donner un coup de Pythagore sur O,B1,C1 par exemple
a1²+b1²=c1²
(c1-8)²+(c1-4)² = c1²
c1²-16c1+64+c1²-8c1+16=c1²
c1²-24c1+80=0
Delta = 24²-320 = 256
c1 = 1/2(24+-16)= 20 ou 4

c1=20 donne b1 = 16 et a1=12, les trois vitesses sont comme 3, 4, 5
c1 = 4 donne b1 = 0 et a1 = -4. Solution triviale : B est immobile et A et C se déplacent sur la même droite en sens contraire, à la même vitesse.