Soit P l'avance de la pendule et M celle de la montre, en secondes par secondes.
On parlera toujours d'avance, un retard n'étant jamais qu'une avance négative.

En préalable :

• La pendule avance forcément, et la montre retarde. C'est la seule solution pour satisfaire la contrainte sur les erreurs. On peut même dire que les taux d'avance / retard sont sensiblement égaux en valeur absolue avec un mécanisme qui est grossièrement :
  • à t donné, la pendule affiche t+Pt avec une erreur Pt
  • à t+Pt la montre affiche t+PT-M(t+PT) ~ t+Pt-Mt soit P~M et on a alors une erreur -Pt
• Il en vient également que l'écart à minuit est sensiblement égal à 1/2s, et donc que la solution proposée est erronnée (le taux d'avance/retard est d'environ 1s/24h). En fait la pendule est donnée en secondes par secondes, et la montre en secondes / 24 heures.

A un certain moment T (en secondes), la pendule marque minuit. Elle a en fait avancé de T*P, donc
1. T(1+P)=12*60*60 avec une erreur TP
À T+1, la montre marque minuit. Elle a en fait avancé de (T+1)*M, donc
2. (T+1)(1+M)=12*60*60 avec une erreur (T+1)M
L'énoncé nous donne TP = (T+1)M en valeur absolue. La pendule avance et la montre retarde d'où TP = -(T+1)M donc 2 devient
T+1-TP=12*60*60
Que l'on somme avec 1 pour obtenir :
2T+1 = 2*12*60*60
soit T = 12*60*60 -1/2
On injecte dans 1 :
12*60*60 -1/2 + (12*60*60-1/2)P = 12*60*60
P = 1/(2*12*60*60-1) = 1/86399 secondes par secondes ou 86400/86399 secondes par jour.
On injecte dans 2
12*60*60+1/2 +(12*60*60+1/2)M = 12*60*60
M = -1/(2*12*60*60+1) = -1/86401 secondes par secondes ou 86400/86401 secondes par jour