On appelle VA le vitesse du mobile A, VB la vitesse du mobile B.

Préalables :

• L'écart est soit stable (les deux vitesses sont (devenues) égales, soit passe alternativement d'un nombre pair à un nombre impair.
• Si à un moment B va plus vite que A, au plus après deux franchissements d'écarts entiers, les deux vitesses seront égales ou VB sera supérieure à VA de plus d'1/2 km/h donc A ne pourra plus rattraper B. Dans l'intervalle considéré, on a donc toujours VA > VB

À t = 0 les deux mobiles partent avec les vitesses VA et VB
Au bout de T1, l'avance de A sur B atteint 1km et la vitesse de B passe à VB+1/2
Au bout de T2, l'avance de A sur B atteint 2km et la vitesse de A passe à VA+1/4
Au bout de T3, l'avance de A sur B atteint 3km et la vitesse de B passe à VB+1
Au bout de T4, l'avance de A sur B atteint 4km.
(T1, T2, T3, T4 temps de chaque sous trajet)
On a :
1. T1(VA-VB) = 1
2. T2(VA-VB-1/2)=1
3. T3(VA-VB-1/4)=1
4. T4(VA-VB-3/4)=1

A a parcouru 1 km 1/3 de plus que à VA constante donc 1/4(T3+T4) = 1+1/3 soit :
5. T3+T4 = 16/3
De 3 et 4 on sort :
VA-VB - 1/4 = 1/T3
VA-VB-3/4=1/T4
d'où :
1/2 = 1/T3-1/T4
1/T3 = 1/2+1/T4
1/T3 = (2+T4)/(2*T4)
T3 = 2*T4/(2+T4)
que l'on injecte dans 5 :
2*T4/(2+T4) + T4 = 16/3
2*T4 + 2*T4 + T4^2 = 32/3 + (16/3)*T4
3T4^2 -4T4 - 32 = 0
Deux racines : 4 et l'autre négative donc :
T4 = 4
de 5 il vient
T3 = 16/3 - 4 = 4/3
et de 3 ou 4 il vient
6. VA-VB = 1
que l'on réinjecte dans 1 et 2 pour obtenir
T1 = 1
T2 = 2

B a parcouru 30 +2/3 km, A a donc parcouru 34+ 2/3 km et aurait parcouru à vitesse constante VA 33+1/3 km.
D'où
VA (T1+T2+T3+T4) = 33+1/3
VA(1+2+1+1/3+4) = 33+1/3
VA(3+6+3+1+12)=100
VA = 4
et de 6 on tire
VB = 3