Soient s (réel de 0 à 60 exclu), m (entier de 0 à 59) et h(entier de 0 à 11) les valeurs respectives des secondes, minutes et heure) (midi est donné par h=m=s=0)
Soient S, M, et H les angles respectifs en degrés des aiguilles avec la position "midi".
Supposons que l'horloge est parfaite, c'est à dire que le mouvement des aiguilles est parfaitement linéaire en fonction du temps.
On a alors :
S = 360*s/60 = 6s
M = 360*(m+s/60)/60 = 6m + s/10
H = 360*(h+m/60 + s/3600)/12 = 30h+m/2+s/120
Les angles que font les aiguilles entre elles sont alors donnés par
M-S = 6m+s/10-6s = 6m-59s/10
H-M = 30 h + m/2 + s/120 - 6m - s/10 = 30h -11/2*(m + s/60)

Pour que le triangle soit équilatéral, une condition nécessaire est que
M-S = K*120, avec K = -2, -1, 1 ou 2.
Cela donne :
6m-59s/10 = 120K
s = 10/59(6m - 120K)=60/59*(m-20K)
s étant réel, cela veut dire qu'il n'y a pas trop de problème pour trouver, m étant donné, une position de la trotteuse qui convient (en éliminant les valeur de s <0 ou >60 il en reste deux pour chaque m).

On a alors
H-M = 30 h -11/2(m+ 1/59*(m-20K)) = 30 h -11/59*(30m-10K) = 30 (h-11/59*(m-K/3)) h, m et K sont des entiers et K = -2,-1, 1 ou 2. H-M aura donc beaucoup de mal à être entier, et a fortiori un multiple de 120 ! (Sauf à admettre K=0 qui donne la solution triviale midi, pour autant que trois points confondus forment un triangle).
Cherchons toutefois les "meilleures" solutions, c'est à dire celles pour lesquelles l'écart sur H-M est minimum. On cherche un entier A (=3m-K) tel que 11A/177 soit de la forme B+C/177 avec B et C entiers, C le plus petit possible. C'est à nouveau le problème des forgerons entre 11A et 177B
Le premier "battement" se produit pour A = 16 (B=-1) soit les solutions :
A=16, B=-1
A=32, B=-2
A=48, B=-3
A=64, B=-4
A=80, B=-5
A=96, B=-6
A=97, B=5
A=113, B=4
A=129, B=3
A=145, B=2
A=161, B=1

A= 16 donne m = 5 K=-1 ou m=6K=-2 impossible
on cherche alors H-M = 240 = 30(h-1) soit h = 9 et s = 1500/59, avec une erreur de 30/177=10/59 soit 0,17° environ sur H-S
A=161 donne m = 53 K =-2 impossible et m = 54 K =1
on cherche alors H-M=-240=30(h-10) soit h = 2 et s = 2040/55, avec la même erreur.
Au passage, sur une horloge de diamètre 30 cm, la circonférence fait environ 1m, soit environ 3mm par ° ce qui donne une erreur de position sur l'aiguille de 0,5 mm.
Et si l'horloge n'était pas parfaite ? La plupart des horloges traditionnelles renvoient le mouvement entre les aiguilles par un train d'engrenage. Si on admet que ce renvoi est linéaire, et même si le mouvement de la trotteuse ne l'est pas (il présente des dents de scies induites par le mécanisme d'échappement) le problème est le même : il suffit de substituer à s une fonction du temps qui linéarise le mouvement de la trotteuse et les équations sont identiques.
Toutefois, il existe des horloges sur lesquelles les aiguilles occupent des positions discrètes sur le cadran. Par exemple seulement toutes les minutes, soit seulement 60 valeurs d'angle possibles sur le cadran. (L'aiguille des minutes bascule lorsque la trotteuse passe sur le 0, et celle des heures lorsque l'aiguille des minutes passe une dizaine). On a alors des tas de solutions (par exemple 4h00:40).