COURTE BIBLIOGRAPHIE

Skemp, Richard R., The Psychology of Learning Mathematics, Penguin Books, ISBN 0-14-022668-0

Parmi les thèmes traités, on note :

The formation of Mathematical concepts | The Idea of a Schema | Intuitive and Reflective Intelligence
Symbols | Different Kinds of Imagery | Interpersonal and Emotional Factors
The Naming of Numbers | Algebra and Problem-solving

Gérard, Émile, Cours d'Algèbre, Éd. Beauchemin, 1960

L'approche est la plupart du temps consistante. Les problèmes sont bien choisis. M. Gérard a le souci du vocabulaire clair.

Il est mauvais, pensons-nous, de laisser s'implanter dans l'esprit de l'élève l'idée que la science de l'algèbre, que nous commençons à construire sous ses yeux n'obeit à aucune loi, qu'elle est livrée à un arbitraire absolue ; qu'il suffit, pour la posséder, de savoir le « comment » sans jamais se demander le «  pourquoi ? » [Préface, p.10]

Schaaf, William L. Basic Concepts of Elementary Mathematics, John Wiley & Sons, 1967, Library of Congress 64-25883.

Schaaf définit les entiers comme une paire de nombres naturels : (a,b). En fait, le symbol (a,b) signifie (a-b).

You may think it rather peculiar to represent an integer (a new kind of number) by using two naturel numbers, written (3-4); but this is no more peculiar than representing a rational number (also a new kind of number) by using two natural numbers, written, say, as ¾, or 3÷4, or 3/4. [P. 178]
L'approche de l'auteur est extrêmement intéressante mais elle est, à mon avis, pédagogiquement intenable à cause de son caractère axiomatique. Mathématiquement parlant, cette approche est cependant rigoureuse et mérite qu'on s'y arrête. Un des exercices proposés par Schaaf est le suivant :
Prove the associative law for addition of the integers ; that is, prove that :
(a,b) + [(c,d) + (e,f)] = [(a,b) + (c,d)] + (e,f). [P.182]
On voit très rarement cette demande de prouver l'associativité. En général, les auteurs tiennent pour acquis cette propriété.
Par ailleurs, il définit la relation d'ordre ainsi: (a,b) > (c,d) si (a+d) > (b+c).
Dans son système, la multiplication est défini ainsi : (a,b) x (c,d) = (ac+bd, bc+ad). Ce qui est très intéressant ici est que la loi des signes pour la multiplication découle naturellement de cette définition et des postulats de sa théorie.
Together, the positive ans negative integers and zero constitute a different number system from the system of natural numbers. We have enlarged the system not merely by adding « negative numbers » and zero to the basic system of natural numbers, but by modifying the nature of the numbers through changes in postulates and definitions. It is true that the natural number 2, for example, « looks like » the integer +2; indeed, they have many properties in common. Nevertheless they belong to different number system. In a sense, the integers may be regarded as different kinds of numbers. Actually, the integers +1 and -1 represent relations; +1 is the relation of n+1 to n, and -1 is the relation of n to n+1. On the other hand, the singless natural number 1 is not a relation at all, but a cardinal number, that is, a class of classes. Thus the positive integers should not be identified with the signless natural numbers. [P. 181]
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©Gilles G. Jobin, 1998
Projet Diderot