GSM-122: quelques exercices intéressants

GSM-122
Exercices intéressants

Gilles G. Jobin

À l'éducation des adultes, l'introduction à la géométrie se trouve dans le cours GSM-122.

Les exercices ci-dessous permettent aux élèves de mettre leurs connaissances à l'épreuve. Il s'agit d'illustrer plusieurs propositions faisant appel aux différentes définitions apprises dans ce cours.

Le GEOMETER'S SKETCHPAD est un bon logiciel d'exploration et dans les situations proposées plus bas, les connaissances nécessaires pour réaliser les sketches sont minimales.

Je suggère de grouper les élèves par équipe de deux, chacun d'eux ayant, si possible, leur propre ordinateur: cela leur permet une tentative simultanée de résolution.

Dans ces problèmes, les élèves devront construire des parallélogrammes, des losanges, des triangles, des carrés. Ils construiront aussi des bissectrices, des sécantes, des droites. Les notions de perpendiculaire, de point milieu, de congruence sont aussi présentes. Le dernier problème demande de construire des hauteurs et des médianes.

Vous pouvez télécharger une version shareware du GEOMETER'S SKETCHPAD directement de Key Curriculum Press.
Voyez ici comment configurer votre fureteur de manière à ce qu'il puisse lire les fichiers GSP.
L'icône

pointe vers le téléchargement du sketch illustrant le problème.
Vous pouvez aussi télécharger une version word (zip) de cette activité d'apprentissage.

Problème 1

Illustrer que dans un parallélogramme, la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés est partagée en deux parties congrues par le point de rencontre des diagonales.

Problème 2

Illustrer que lorsque deux parallèles sont coupées par une sécante, les bissectrices des angles intérieurs forment un rectangle.

Problème 3

Illustrer que les bissectrices des angles d’un parallélogramme forment un rectangle. En profiter pour examiner le cas où le parallélogramme devient un rectangle, un losange.

Problème 4

Dans un carré ABCD on joint les milieux M, N, P, Q des côtés adjacents; illustrer que le quadrilatère obtenu est un carré.

Problème 5

Par le milieu M du côté AB d’un triangle ABC, on mène la perpendiculaire MN à ce côté. Illustrer que si N est le milieu du côté BC, le triangle ABC est rectangle.

Problème 6

Par les extrémités A et B de la grande base d’un trapèze ABCD, on mène AM parallèle à BC et BN parallèle à AD ; les points M et N sont sur le prolongement de la petite base CD. Illustrer que les angles M et N sont respectivement congrus aux angles B et A du trapèze ABCD.

Problème 7

Si, sur les côtés d’un triangle ABC, on trace extérieurement des carrés BADE, CBFG, ACHK:
1- Les droites BH et AG sont congrues et perpendiculaires l’une sur l’autre ; elles se coupent sur la hauteur CN.
2- Les hauteurs du triangle ABC passent respectivement par les milieux de GH, FE, DK.
3- Les médianes des ABC sont respectivement perpendiculaires sur les droites DK, EF, GH.

LES MATHÉMATIQUES
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Problème 1	Illustrer que dans un parallélogramme, la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés est partagée en deux parties congrues par le point de rencontre des diagonales.

Problème 2	Illustrer que lorsque deux parallèles sont coupées par une sécante, les bissectrices des angles intérieurs forment un rectangle.

Problème 3	Illustrer que les bissectrices des angles d’un parallélogramme forment un rectangle. En profiter pour examiner le cas où le parallélogramme devient un rectangle, un losange.
Problème 4	Dans un carré ABCD on joint les milieux M, N, P, Q des côtés adjacents; illustrer que le quadrilatère obtenu est un carré.

Problème 5	Par le milieu M du côté AB d’un triangle ABC, on mène la perpendiculaire MN à ce côté. Illustrer que si N est le milieu du côté BC, le triangle ABC est rectangle.

Problème 6	Par les extrémités A et B de la grande base d’un trapèze ABCD, on mène AM parallèle à BC et BN parallèle à AD ; les points M et N sont sur le prolongement de la petite base CD. Illustrer que les angles M et N sont respectivement congrus aux angles B et A du trapèze ABCD.

Problème 7	Si, sur les côtés d’un triangle ABC, on trace extérieurement des carrés BADE, CBFG, ACHK: 1- Les droites BH et AG sont congrues et perpendiculaires l’une sur l’autre ; elles se coupent sur la hauteur CN. 2- Les hauteurs du triangle ABC passent respectivement par les milieux de GH, FE, DK. 3- Les médianes des ABC sont respectivement perpendiculaires sur les droites DK, EF, GH.