Quelques défis géométriques

QUELQUES DÉFIS GÉOMÉTRIQUES

Gilles G. Jobin

Le Geometer's Sketchpad permet de résoudre empiriquement plusieurs petites questions géométriques. Celles-ci sont un bon point de départ pour permettre aux élèves de lire un problème afin d'en décortiquer les données. De ces données, l'élève peut réaliser un sketch lui permettant de trouver la " solution ".

Pédagogiquement parlant, ces problèmes offrent des défis intéressants.

En effet, ceux de type " trouvez le lieu géométrique de... " permettent aux élèves d'acquérir une certaine habileté à décortiquer les données d'un problème tout en s'amusant à le résoudre. Il est suggéré de grouper les élèves par équipe de deux (mais chacun ayant un ordinateur - pour faire leurs propres essais). Laissez alors les élèves lire le problème et laissez-les discuter entre eux sur ce qu'ils doivent faire. Il faut leur laisser le temps d'errer quelque peu.

L'enseignant qui écoute attentivement les discussions, devrait pouvoir détecter les lacunes de lecture et de compréhension de texte. Il faut alors qu'il se retienne d'intervenir : les membres de l'équipe doivent s'entendre sur la signification du problème même si l'enseignant juge que cette entente est fausse. En tentant de résoudre le problème avec le GSP, les élèves se rendront compte de leur erreur d'interprétation et corrigeront le tir !

La stratégie du sous problème devra être fréquemment employée . En effet, il arrive très souvent que pour effectuer la tâche, il faille décortiquer le problème en petits problèmes partiels à résoudre. Par exemple, dans le problème 6 ci-dessous, l'élève doit d'abord être en mesure de mener une tangente à un cercle, étant donné un point à l'extérieur du cercle. L'élève s'apercevra très vite que cette tâche est préalable à la résolution complète du problème.

Vous pouvez télécharger une version shareware du GEOMETER'S SKETCHPAD directement de Key Curriculum Press.
Voyez ici comment configurer votre fureteur de manière à ce qu'il puisse lire les fichiers GSP.
L'icône

pointe vers le téléchargement du sketch illustrant le problème.
Vous pouvez aussi télécharger une version word (zip) de cette activité d'apprentissage.

Problème 1

On donne un cercle de centre O et sur ce cercle un point A ; on trace en A une tangente AB de longueur constante. Trouver le lieu géométrique du point B quand A décrit le cercle. Note pédagogique : Ce problème n'est pas très difficile. Pour que le sketch soit flexible, il faut que la longueur AB soit modifiable en tout temps. Ceci constitue une difficulté de construction qui est loin d'être insurmontable mais qui peut demander un brin de réflexion aux concepteurs du sketch. Le bout de phrase ...quand A décrit le cercle... demandera sans doute une explication. En effet, décrire, dans le PLI, est défini comme parcourir une ligne courbe.

Problème 2

Illustrez que dans un triangle quelconque, la somme des carrés des médianes est égale aux 3/4 de la somme des carrés des trois côtés. Note pédagogique : Un problème intermédiaire serait de construire les trois médianes. Certains trouveront peut-être intéressant le fait que les trois médianes se rencontrent en un point commun. Le reste est une habileté de type SKETCHPAD seulement car il suffit de savoir comment mesurer et utiliser la calculatrice du logiciel !

Problème 3

On fait tourner une circonférence autour de l'un des ses points et, dans chacune de ses positions, on lui mène une tangente parallèle à une droite donnée ; trouver le lieu géométrique des points de contact. Note pédagogique : Faire tourner un cercle autour d'un de ces points pourra demander plusieurs minutes aux élèves. Ceci est un sous problème. Cette construction n'est pas évidente à réaliser et il est possible que l'enseignant doive donner un petit coup de pouce aux élèves en exécutant sur l'acétate électronique les premières étapes.

Problème 4

On donne dans un cercle deux diamètres perpendiculaires l'un à l'autre. Par l'une des extrémités de l'un deux, on mène une sécante qui rencontre la circonférence en C et l'autre diamètre en D ; trouver le lieu géométrique des points d'intersection de la tangente au point C, avec la perpendiculaire menée en D au diamètre.

Problème 5

Sur l'hypoténuse BC d'un triangle rectangle, on élève une perpendiculaire quelconque ; trouver le lieu géométrique des intersections des droites qui joignent B et C aux points où la perpendiculaire rencontre les côtés opposés. Note pédagogique : Peu de mots dans ce problème, mais il y a plusieurs constructions à réaliser ici. Il y a certainement un grande difficulté à comprendre la deuxième partie du texte car il faut bien voir que le point B sera relié à l'un des points (qui n'est pas sur le prolongement de son côté) et le C sera relié à l'autre point. Par ailleurs, les élèves doivent penser à prolonger les côtés.

Problème 6

D'un point quelconque A du prolongement du diamètre BD, on mène la tangente AC, puis la bissectrice de l'angle CAD ; trouver le lieu géométrique du pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur cette bissectrice.

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Problème 1	On donne un cercle de centre O et sur ce cercle un point A ; on trace en A une tangente AB de longueur constante. Trouver le lieu géométrique du point B quand A décrit le cercle.	Note pédagogique : Ce problème n'est pas très difficile. Pour que le sketch soit flexible, il faut que la longueur AB soit modifiable en tout temps. Ceci constitue une difficulté de construction qui est loin d'être insurmontable mais qui peut demander un brin de réflexion aux concepteurs du sketch. Le bout de phrase ...quand A décrit le cercle... demandera sans doute une explication. En effet, décrire, dans le PLI, est défini comme parcourir une ligne courbe.

Problème 2	Illustrez que dans un triangle quelconque, la somme des carrés des médianes est égale aux 3/4 de la somme des carrés des trois côtés.	Note pédagogique : Un problème intermédiaire serait de construire les trois médianes. Certains trouveront peut-être intéressant le fait que les trois médianes se rencontrent en un point commun. Le reste est une habileté de type SKETCHPAD seulement car il suffit de savoir comment mesurer et utiliser la calculatrice du logiciel !

Problème 3	On fait tourner une circonférence autour de l'un des ses points et, dans chacune de ses positions, on lui mène une tangente parallèle à une droite donnée ; trouver le lieu géométrique des points de contact.	Note pédagogique : Faire tourner un cercle autour d'un de ces points pourra demander plusieurs minutes aux élèves. Ceci est un sous problème. Cette construction n'est pas évidente à réaliser et il est possible que l'enseignant doive donner un petit coup de pouce aux élèves en exécutant sur l'acétate électronique les premières étapes.
Problème 4	On donne dans un cercle deux diamètres perpendiculaires l'un à l'autre. Par l'une des extrémités de l'un deux, on mène une sécante qui rencontre la circonférence en C et l'autre diamètre en D ; trouver le lieu géométrique des points d'intersection de la tangente au point C, avec la perpendiculaire menée en D au diamètre.

Problème 5	Sur l'hypoténuse BC d'un triangle rectangle, on élève une perpendiculaire quelconque ; trouver le lieu géométrique des intersections des droites qui joignent B et C aux points où la perpendiculaire rencontre les côtés opposés.	Note pédagogique : Peu de mots dans ce problème, mais il y a plusieurs constructions à réaliser ici. Il y a certainement un grande difficulté à comprendre la deuxième partie du texte car il faut bien voir que le point B sera relié à l'un des points (qui n'est pas sur le prolongement de son côté) et le C sera relié à l'autre point. Par ailleurs, les élèves doivent penser à prolonger les côtés.

Problème 6	D'un point quelconque A du prolongement du diamètre BD, on mène la tangente AC, puis la bissectrice de l'angle CAD ; trouver le lieu géométrique du pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur cette bissectrice.