dimanche 28 août 2005
Exposant zéro
Par Gilles Jobin, dimanche 28 août 2005 :: Mathématiqueries
J'ai eu l'occasion de feuilleter un manuel scolaire de sience de première secondaire en fin de semaine. Dans ce dernier, au chapitre sur la cellule, un encadré mathématique (il faut bien faire des liens, n'est-ce pas?) dans lequel on signale que les mathématiques sont bien utiles pour écrire de grands nombres. Et le tableau suivant est affiché, sans plus de détails:
100 = 1;
101 = 10;
102 = 100;
103 = 1000;
104 = 10000;
105 = 100000;
106 = 1000000;
107 = 10000000;
108 = 100000000;
109 = 1000000000;
1010 = 10000000000;
etc.
Ce qui me chicote, dans ce tableau, est l'explication que peut en donner un enseignant pour signaler que 100 donne 1.
Explication poche nº 1
-Tu vois l'exposant? Il représente le nombre de zéros. Dans 100 il y a deux zéros, dans 1000, trois zéros. L'exposant correspond donc au nombre de zéros. Il est donc normal que 100 donne 1, puisqu'il n'y a pas de zéro.
Cette explication est vraiment poche. Quand l'enfant verra quelque chose comme 210, il écrira peut-être 200000000. Un enfant essaie d'être logique. C'est souvent la mathématique scolaire qui lui enseigne la magie car l'enseignant, avec de gros yeux, le reprendra en lui disant qu'il est tout faux et que 210 vaut 1024
Explication poche nº 2
- Prends une ligne du tableau. Si tu remontes, tu dois diviser par 10. Si tu descends, tu dois multiplier par 10. Par exemple, à partir de 102 = 100, si tu divises par 10, tu obtiens 101=10 et si tu redivises encore par 10 tu obtiens 100=1. Logique, non?
Logique? Pas du tout. Car, voyez-vous, pour réaliser cette opération de remonter ou de descendre, il faut être à quelque part ! Or, comment déterminer que, par exemple, 105 = 100000 ? L'enseignant pourra dire que l'exposant est le nombre de zéros. Mais là, on retombe dans l'explication poche nº 1.
Il sera donc obligé de dire que 105, c'est tout simplement 10 qui s'est multiplié cinq fois par lui-même.
- Mais alors, demandera l'élève, comment se fait-il que 10 multiplié zéro fois par lui-même donne 1???
Expérons que le prof ne cafouillera pas trop dans son explication.
À mon avis, il aurait été bienvenu que le tableau ne contienne pas la ligne 100 = 1. Car l'explication du nombre multiplié tant de fois par lui-même est correcte : l'enfant trouvera alors cohérent que 210 donne 1024, car c'est 2 multiplié 10 fois par lui-même ! Pour aller plus loin (les exposants 0, négatifs et fractionnaires), il aurait été intéressant que l'enseignant de science qui désire aborder la notation des grands nombres et la notation scientifique, coordonne cette explication avec l'enseignant du cours de maths. Dans le manuel, on aurait pu écrire quelque chose du genre : « Tu veux savoir quel sens peut avoir par exemple 100 ou 10-4 ou 103/5 ? Demande à ton enseignant de mathématiques ! Ton enseignant de science t'indiquera que ces exposants bizarres sont très importants dans plusieurs domaines scientifiques ! »
100 = 1;
101 = 10;
102 = 100;
103 = 1000;
104 = 10000;
105 = 100000;
106 = 1000000;
107 = 10000000;
108 = 100000000;
109 = 1000000000;
1010 = 10000000000;
etc.
Ce qui me chicote, dans ce tableau, est l'explication que peut en donner un enseignant pour signaler que 100 donne 1.
Explication poche nº 1
-Tu vois l'exposant? Il représente le nombre de zéros. Dans 100 il y a deux zéros, dans 1000, trois zéros. L'exposant correspond donc au nombre de zéros. Il est donc normal que 100 donne 1, puisqu'il n'y a pas de zéro.
Cette explication est vraiment poche. Quand l'enfant verra quelque chose comme 210, il écrira peut-être 200000000. Un enfant essaie d'être logique. C'est souvent la mathématique scolaire qui lui enseigne la magie car l'enseignant, avec de gros yeux, le reprendra en lui disant qu'il est tout faux et que 210 vaut 1024
Explication poche nº 2
- Prends une ligne du tableau. Si tu remontes, tu dois diviser par 10. Si tu descends, tu dois multiplier par 10. Par exemple, à partir de 102 = 100, si tu divises par 10, tu obtiens 101=10 et si tu redivises encore par 10 tu obtiens 100=1. Logique, non?
Logique? Pas du tout. Car, voyez-vous, pour réaliser cette opération de remonter ou de descendre, il faut être à quelque part ! Or, comment déterminer que, par exemple, 105 = 100000 ? L'enseignant pourra dire que l'exposant est le nombre de zéros. Mais là, on retombe dans l'explication poche nº 1.
Il sera donc obligé de dire que 105, c'est tout simplement 10 qui s'est multiplié cinq fois par lui-même.
- Mais alors, demandera l'élève, comment se fait-il que 10 multiplié zéro fois par lui-même donne 1???
Expérons que le prof ne cafouillera pas trop dans son explication.
À mon avis, il aurait été bienvenu que le tableau ne contienne pas la ligne 100 = 1. Car l'explication du nombre multiplié tant de fois par lui-même est correcte : l'enfant trouvera alors cohérent que 210 donne 1024, car c'est 2 multiplié 10 fois par lui-même ! Pour aller plus loin (les exposants 0, négatifs et fractionnaires), il aurait été intéressant que l'enseignant de science qui désire aborder la notation des grands nombres et la notation scientifique, coordonne cette explication avec l'enseignant du cours de maths. Dans le manuel, on aurait pu écrire quelque chose du genre : « Tu veux savoir quel sens peut avoir par exemple 100 ou 10-4 ou 103/5 ? Demande à ton enseignant de mathématiques ! Ton enseignant de science t'indiquera que ces exposants bizarres sont très importants dans plusieurs domaines scientifiques ! »
