Jobineries

Blogue de Gilles G. Jobin, Gatineau, Québec.

dimanche 1 mai 2005

1 = -1

Vous voulez jouer un bon tour à votre enseignant de mathématique? Soumettez-lui ce petit paradoxe en commençant d'abord par lui demander s'il est bien d'accord avec les lois des exposants :

Extrait de la page 148 de l'excellent
Basic Concept of Elementary Mathematics de Schaaf.
Ces 6 lois se retrouvent dans
tous les bons manuels de mathématique.


Preuve n°1


Explications :

Ligne 1 : Évidemment, puisque 1 est bien égal à la branche positive de racine carrée de 1.

Nous allons maintenant manipuler le membre de droite.

Ligne 2 : Puisque -1 x -1 =1, on peut faire la substitution sous le radical.

Ligne 3 : On utilise la loi des exposants : am · an = (a)m+n. Ici, a vaut -1, m vaut 1 (car c'est l'exposant de -1) et n vaut 1.

Ligne 4 : Le passage de la ligne 3 à la ligne 4 demande un peu de culture mathématique (4e secondaire, je crois). Évidemment, vous n'êtes pas obligés de me croire. Ouvrez n'importe quel ouvrage de maths au chapitre des exposants, et vous trouverez facilement les lois des exposants. Dans le livre de Schaaf, page 148 illustrée plus haut, il s'agit de la loi VI qui permet d'écrire cette ligne.

Ligne 5 : Car 2/2 donne bien 1.

Ligne 6 : et -11 est évidemment égal à -1. CQFD !!!

Je suppose que vous ne croyez toujours pas que 1 = -1. Puisque souvent il vaut mieux deux preuves plutôt qu'une, en voici une deuxième :

Preuve n°2

Supposons a un nombre naturel quelconque différent de 0.
-1=(-1)1=(-1)(2a)/(2a)=(voir la loi V)=((-1)2a)1/(2a)=(1)1/(2a)=1
Donc -1 = 1. CQFD.

Explication sommaire de la preuve n°2 au cas où vous douteriez (!!!) de mes capacités mathématiques :
L'endroit où j'écris ((-1)(2a))1/(2a)=(1)1/(2a) est rigoureusement vraie car 2a est nécessairement un nombre pair, et (-1)un pair est nécessairement égal à 1.
Le dernier passage est aussi vrai car tout prof de math vous dira que 1 exposant n'importe quoi donne nécessairement 1.

Belle découverte

Quand je pense à tous les livres qu'il me reste à lire, j'ai la certitude d'être encore heureux.
J. Renard, Journal.


Ayant pour but de créer un fil RSS pour Au fil de mes lectures, je cherchais sur le web comment en construire un. C'est ainsi que je suis tombé sur Open Web, immense source d'apprentissage. Quand je pense à tout ce que je peux encore apprendre...