Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l'oeuvre de l'homme.
Leopold Kronecker


[...] the positive integers should not be identified with the signless natural numbers.
W. L. Schaaf, Basic Concepts of Elementary Mathematics, Wiley, 1960


Ce n'est plus un secret pour les lecteurs de ce blogue : les nombres entiers me fascinent. J'aimerais illustrer, dans ce court billet, la puissance didactique des entiers. C'est à dire, comment ces nombres éveillent certaines difficultés inhérentes à l'enseignement des mathématiques. Cela pourrait être le canevas d'une formation donnée aux enseignants.

1. Une définition

Aux élèves, les enseignants émettent souvent que la création des entiers provient du fait qu'on ne peut soustraire un plus grand nombre d'un plus petit. Par exemple, 5 - 3 existe chez les naturels, mais 3 - 5 y est impossible.
Profitons de ce constat pour inventer une nouvelle notation :
(a,b) serait l'entier défini par l'expression a - b.
On dira que cet entier est positif si a est plus grand que b et est négatif si b < a. Si a =b, l'entier sera appelé 0.
Par exemple, (5,1) est l'entier défini par 5 - 4 soit +1.
Et (1,5) est l'entier défini par 4 - 5 soit -1.

- Ridicule!, me lancera-t-on. Pourquoi se compliquer la vie avec cette nouvelle notation ??? Les négatifs, ce sont -1, -2, -3... et les positifs sont +1, +2... Et puis, deux nombres pour décrire un entier, c'est stupide non?
- Pas tout à fait, répondrais-je. On ne s'étonne pas d'une notation de type 3/4, 5/9 pour décrire les rationnels : deux nombres naturels séparés par une barre oblique. Cette notation est basée sur l'opération division. Pourquoi s'étonnerait-on de décrire un entier comme je viens de le faire? Par ailleurs, un avantage évident de cette symbolique est d'éviter la confusion entre le symbole + des entiers positifs et l'addition et le symbole - des entiers négatifs et la soustraction.

Voilà un premier choc didactique : les enfants qui voient pour la première fois la notation des fractions doivent certainement angoisser. Il faut en tenir compte!

2. L'égalité

Regardez ces trois entiers : (5,10), (12,17), (101,106). Tous trois représentent le même nombre entier (soit -5 dans la notation classique).

-Vous voyez bien que tout cela est ridicule, me lancera-t-on. -5, C'EST -5. Les élèves vont être perdus avec votre affaire !
-Ah oui ? répondrais-je. Pourtant, 2/4, 100/200, 27/54 représentent bien le même rationnel, soit 1/2. Pourquoi ne pas vous étonner de ce fait notationnel chez les fractions et s'en étonner chez les entiers?

C'est là un deuxième choc didactique.

3. Les opérations

À partir de cette définition des entiers, comment peut-on donner un sens à l'addition? N'oubliez pas que, symboliquement parlant, chez les fractions, l'addition se définit par : a/b + c/d = (ad+cb)/db. Qu'en est-il de la soustraction? De la multiplication? De la division? Faire le parallèle au niveau des difficultés avec les rationnels.

4. La relation d'ordre.

On tient encore très souvent pour acquis la relation d'ordre chez les entiers : on les met tous sur une droite numérique et on signale aux l'élève que si l'entier est à droite d'un autre, alors il est plus grand que cet autre. Mais à partir de notre notation, comment définir la relation d'ordre? Cette difficulté est aussi très présente chez les nombres rationnels. Comment, par exemple, établir la relation d'ordre entre 107/43 et 110/47 ?